群概形

群概形概形范畴群对象.

1定义

定义 1.1 (群概形). 概形 上的群概形 上概形范畴 群对象. 换言之, 上群概形是四元组 , 上概形, , , -态射, 分别满足乘法、单位元、逆元需满足的公理. 如乘法满足交换律, 则称其为交换群概形. 上群概形和交换群概形的范畴分别记作 .

注 1.2.群对象的一般道理及米田引理, 上群概形相当于函子 , 复合遗忘函子 之后为可表. 类似地, 交换群概形相当于函子 , 复合遗忘函子之后可表. 我们通常用这种方式而不是定义中的四元组来给出群概形, 因为更方便. 如有 上群概形 , 我们也直接以 记函子 .

定义 1.3 (同态). 上群概形. 则 同态-态射 , 满足涉及 的图表都对应交换. 换言之, 沿米田引理对应的 函子同态. 所有同态的集合记作 .

定义 1.4 (子群、正规子群). 上群概形. 则 子群指的是 的可表子函子, 即对每个 -概形 指定群 的一个子群, 这一指定构成可表函子. 的子群 称为正规子群, 意思是对每个 , 都是 的正规子群.

定义 1.5 (单、满、正合列). 上群概形同态 单 (满), 指的是函子同态 作为 fpqc 层的映射为单 (满). 由于层单射和预层单射一样, 是单射也等价于对每个 -概形 , 映射 为单射, 而满射则不然. 类似地, 群概形映射列称为正合列, 指的是它作为 fpqc 层映射列为正合.

2例子

以下固定基概形 , 所有的概形都是 -概形.

本身总是自己的群概形, 因其表示的函子取值总为单点. 这称为平凡群概形, 记作 .

函子 仿射直线 表示, 故这给出交换群概形, 称为加法群概形, 记作 .

函子 表示, 故这给出交换群概形, 称为乘法群概形, 记作 .

各种线性代数群都是群概形, 例如一般线性群特殊线性群正交群等.

椭圆曲线是群概形. 一般地, Abel 概形是群概形.

3性质

群概形和群一样有各种构造.

命题 3.1 (核). 上群概形同态 , 存在 上群概形 满足 为正合列. 换言之, 函子 可表. 称为 .

证明. 回忆概形可以作纤维积. 定义 为纤维积显然满足要求.

注 3.2. 相比之下像和商就没那么好. 当然, 作为 fpqc 层的像和商总是有的, 但未必可表. 可表性只在有限型代数群情形成立.

命题 3.3 (积). 上任两个群概形 都能作乘积. 换言之, 函子 可表.

证明. 显然纤维积 就是这个乘积.

于是范畴 有有限极限.

命题 3.4 (基变换). 是概形态射. 则 给出函子 , 称为群概形的基变换. 它保持极限.

注 3.5. 它有时有右伴随, 称为 Weil 限制.

下面几个命题来自群概形的齐性. 以下命题就是 Lie 群切丛平凡的代数几何类比, 这里 就好比是单位元处余切空间.

命题 3.6. 上群概形. 以 记结构映射, 记单位元. 则 .

命题 3.7. 上群概形. 则 分离 (拟分离) 当且仅当 闭浸入 (拟紧).

仿射群概形

仿射概形上的仿射群概形对应于 Hopf 代数.

4相关概念

Hopf 代数

术语翻译

群概形英文 group scheme德文 Gruppenschema法文 schéma en groupe