约化群模表示论

约化群模表示论指特征 $p$ 域上约化群的表示论. 此时与特征 $0$ , 即约化群常表示论的情形不同, 并非所有表示都半单. 不过所有表示构成的范畴有最高权范畴的结构.

1结论

以下固定特征 $p$ 域 $k$ , $G$ 为 $k$ 上的分裂约化群, $B$ 为它的 Borel 子群, $T$ 为它的极大环面, $W$ 为它的 Weyl 群.

与特征 $0$ 的情形相同, 单表示仍与支配整权一一对应.

定理 1.1 (单表示分类). 对 $G$ 的支配整权 $λ$ , 存在 (同构意义下) 唯一的表示 $L (λ)$ , 使得 $L (λ)$ 单, 且最高权为 $λ$ .

由此可以定义最高权范畴结构.

定理 1.2 (最高权范畴结构). $G$ 的所有有限维表示 $Rep (G)$ 上有最高权范畴结构, 其中:

•	权之集是全部支配整权 $X^{+} (T)$ . 其带有以下偏序集结构: $λ \leq μ$ 当且仅当 $μ - λ$ 是正根的非负线性组合.
•	由以上定理, 每个 $λ$ 都对应单表示 $L (λ)$ .
•	余标准对象 $N (λ)$ (或 $\nabla (λ)$ ) 是旗簇上 $G$ -等变向量丛的整体截面 $H^{0} (G / B, O (w_{0} λ))$ . 这里 $O (w_{0} λ)$ 表示 $B$ 的权为 $w_{0} λ$ 的一维表示对应的 $G$ -等变向量丛, $w_{0}$ 表示 Weyl 群的最大元素.
•	标准对象 $M (λ)$ (或 $Δ (λ)$ ) 是余标准对象 $N (λ)$ 的对偶表示.

...

•	与特征 $0$ 的情形不同, 在基域特征 $p$ 时, $SL_{2}$ 的标准表示 $V$ 的 $p$ 次对称积 $Sym^{p} V$ 不是单表示: 形如 $x \otimes x \dots \otimes x$ 的元素生成的向量空间是 $Sym^{p} V$ 的子表示, 也是权 $p ϖ$ 对应的单表示 $L (p ϖ)$ . $Sym^{p} V$ 则是它对应的余标准对象 $N (p ϖ)$ . 此外, $Sym^{p} V$ 也不是半单表示.

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术语翻译

模表示论 • 英文 modular representation theory • 法文 théorie des représentations modulaire