Tits 系

Tits 系是约化代数群的抽象, 它包含了代数群的 Borel 子群和 Weyl 群的信息.

1定义

定义 1.1. Tits 系是四元组 $(G,B,N,S)$, 其中 $G$ 是群, $B,N$ 是 $G$ 的子群, $S$ 是 $N/(B\cap N)$ 的子集, 满足下述条件:

1.	$B\cup N$ 生成群 $G$, $B\cap N$ 是 $N$ 的正规子群.
2.	$S$ 生成群 $W:=N/(B\cap N)$, 且其所有元素阶均为 2.
3.	对任意 $s\in S$, $w\in W$, $sBw\subset BwB\cup BswB$.
4.	对任意 $s\in S$, $sBs⊈B$.

2例子

例 2.1. 对任意域 $K$ 上的一般线性群 $G={\mathrm{GL}}_n(K)$, 令 $B$ 为其中所有上三角矩阵, $N$ 为其中所有每行只有一个数非 $0$ 的矩阵, $S$ 为所有对换 $(i,i+1)$ 相应的矩阵, 则 $(G,B,N,S)$ 构成 Tits 系.

例 2.2. 一般地, 对域 $k$ 上 (未必分裂的) 约化代数群 $G$, 设 $P$ 为其极小抛物子群, $T_0\subset P$ 为极大分裂环面, $N$ 为 $T_0$ 的正规化子, $S$ 为单根对应的元素, 则 $(G(k),P(k),N(k),S(k))$ 构成 Tits 系.

在 “仿射” 情形下也有类似构造:

例 2.3. 令 $K$ 是离散赋值域, $G$ 为 $K$ 上半单代数群, $B$ 为其 Iwahori 子群, $N$ 为相应环子群的正规化子, 则 $W$ 为相应的仿射 Weyl 群, $S$ 为它的所有单根构成的集合, 则 $(G,B,N,S)$ 为 Tits 系.

3性质

命题 3.1 (Bruhat 分解). 记 $C(w)=BwB$, 则 $w\mapsto C(w)$ 定义了双射$$W\to B\backslash G/B.$$

Tits 系和 Coxeter 群有密切关系:

命题 3.2. 如 $(G,B,N,S)$ 是 Tits 系, 则 $(W,S)$ 是 Coxeter 群, 其中 $W=N/(B\cap N)$.

命题 3.3. 记号同上, 如下等式成立$$C(s)C(w)=\{\begin{array}{cc}C(sw)& \ell (sw)>\ell (w)\\ C(sw)\cup C(w)& \ell (sw)<\ell (w).\end{array}$$

$G$ 中包含 $B$ 的子群也有好的描述:

命题 3.4. 对任意的子集 $X\subset S$, 记 $W_X$ 为 $W$ 中由 $X$ 生成的子群, 则 $X\mapsto B{W}_{X}B$ 建立了 $S$ 的子集和 $G$ 中包含 $B$ 的子群的双射, 且具有相同的包含关系.

4相关概念

术语翻译

Tits 系 • 英文 Tits system • 德文 Tits-System (n) • 法文 système de Tits (m)