约化群常表示论

约化群常表示论特征 域上约化群的表示论. 这是一种较好的情形: 所有表示均为半单对象, 特别地约化群上同调也均为 ; 对于分裂约化群, 其单表示由支配整权分类, 且均可由 Borel–Weil–Bott 定理实现为旗簇等变向量丛整体截面.

在特征 的情形, 即约化群模表示论下, 除单表示由支配整权分类外, 以上提及的其它性质均不正确.

约化复 Lie 群的表示论与本文中分裂约化群的表示论完全相同.

1分裂情形

以下设 是特征 分裂约化群, 是它的 Borel 子群, 是它的极大环面, 是它的 Weyl 群.

半单性

定理 1.1 (半单性). 的所有有限维表示均半单.

定理 1.2 (单表示的分类). 的表示 映至它的最高权 的映射诱导了从 的单表示至 支配整权的双射.

支配整权 对应的单表示记作 .

单表示可以显示地构造出来. 回忆有以下结论.

命题 1.3 (等变向量丛). 以下二范畴等价:

的表示构成的范畴;

-等变向量丛构成的范畴.

其中,

前者到后者的态射是对 -表示 , 取 这一 -主丛配丛 .

后者到前者的态射是取 这一点的纤维.

以下定理是 Borel–Weil–Bott 定理的一部分.

定理 1.4 (单表示的构造). 的整权 诱导了 的表示, 它通过商映射 诱导了 的表示, 从而通过命题 1.3 对应于 上的等变向量丛, 记为 .

则如 支配整权, 则有同构这里 表示 的最长元素.

特征

(...)

2一般情形

3例子

, 旗簇 就是一维射影空间, 记 为其单权, 则 1.4 中的 同构于 Serre 扭层 . 由此在 时, 其上同调同构于 , 其中 为标准表示.

术语翻译

常表示论英文 ordinary representation theory法文 théorie des représentations ordinaire