Iwahori–Hecke 代数

在代数群理论中, Iwahori–Hecke 代数 (简称 Hecke 代数) 是 Coxeter 群的群代数的 “形变”. 具体地说, 对 Coxeter 群 $(W,S)$, 其 Iwahori–Hecke 代数 $\mathcal{H}(W,S)$ 是环 $\mathbb{Z}[v^{\pm 1}]$ 上结合代数$$\underset{w\in W}{⨁}\mathbb{Z}[v^{\pm 1}]T_w,$$这里 $T_w$ 表示一组基, 不过 $T_w$ 之积并不是简单的将其指标相乘, 而是在此基础上多出一些其它项, 例如对单反射 $s\in S$, 有$$T_s^2=(v^{-1}-v)T_s+1.$$如取 $v=1$, 则 Hecke 代数变为群代数 $\mathbb{Z}[W]$.

这里的 $\{T_w,w\in W\}$ 称为标准基. 在 Hecke 代数上可以定义对合, 也有一组在对合下均不变的基, 称为 Kazhdan–Lusztig 基.

Hecke 代数的影子在代数群相关的各种构造中出现, 如旗簇上的等变错致层, 范畴 $\mathcal{O}$与 Soergel 双模等. Soergel 双模的 Grothendieck 群是 Hecke 代数, 范畴 $\mathcal{O}$ 中 Verma 模的分解以及模表示论中余标准模的分解也与 Hecke 代数有关 (这即是 Kazhdan–Lusztig 猜想). 对合则会对应于相应范畴中的对偶 (如 Verdier 对偶, 对偶表示) 等.

1定义

基本定义

定义 1.1 (Hecke 代数). 对 Coxeter 群 $(W,S)$, Hecke 代数 $\mathcal{H}(W,S)$ 是结合代数$$\mathbb{Z}[v^{\pm 1}]⟨T_s,s\in S⟩/\sim$$其中商去的关系为

•	对 $s,t\in S$, $T_s{T}_t{T}_s=T_t{T}_s{T}_t$.
•	对 $s\in S$, $T_s^2=(v^{-1}-v)T_s+1$.

注 1.2. 当 $W$ 取为仿射 Weyl 群时, 这里的 Hecke 代数也称为 仿射 Hecke 代数.

定义 1.3 (标准基). 对 $w\in W$, 取 $w$ 的一组既约表示 $w=s_1\cdots s_n$, 定义 $T_w:=T_{s_1}\cdots T_{s_n}$.

可以证明, $T_w$ 与 $(s_1,\cdots ,s_n)$ 的选取无关, 且 $\{T_w,w\in W\}$ 构成 $\mathcal{H}(W,S)$ 在 $\mathbb{Z}[v^{\pm 1}]$ 上的一组基, 称为标准基.

对合

定义 1.4 (对合). 对 $w\in W$, 定义 $\mathcal{H}(W,S)$ 的对合 $\iota$ 为以下数据诱导的自同构:

•	$\iota (v)=v^{-1}$.
•	对 $s\in S$, $\iota (T_s)=T_s^{-1}=T_s+v-v^{-1}$.

定义 1.5 (Kazhdan–Lusztig 基). 对任意 $w\in W$, 存在唯一的元素 $B_w\in \mathcal{H}(W,S)$, 使得 $\iota (B_w)=B_w$ 且$$B_w\in T_w+v\underset{w^{\prime }<w}{⨁}\mathbb{Z}[v]T_{w^{\prime }}.$$则 $\{B_w,w\in W\}$ 构成 $\mathcal{H}(W,S)$ 的一组基, 称为 Kazhdan–Lusztig 基.

2例子

(...)

3性质

(...)

4相关概念

•	双仿射 Hecke 代数

术语翻译

Iwahori–Hecke 代数 • 英文 Iwahori–Hecke algebra • 法文 algèbre d’Iwahori–Hecke