几何不变量理论

在代数几何中, 几何不变量理论 (简称 GIT) 是一种构造模空间的方法. 我们回忆, 模空间是一个由某类数学对象全体所构成的空间, 其中的点应该对应于该数学对象的某种等价类. 在代数几何中, 常常遇到的情况是, 很容易写下所有该类数学对象构成的代数叠 $\mathcal{M}$, 即模叠, 但我们想要找一个代数簇 $M$, 即模空间, 使得它的点能够与 $\mathcal{M}$ 的点对应起来.

一般来说, 满足上述条件 $M$ 可能是不存在的. 但在几何不变量理论中, 我们减弱对 $M$ 的要求, 而构造出模空间 $M$. 具体地说, 我们按照某种规则, 即某个稳定判据, 把 $\mathcal{M}$ 的点分为三类:

•	稳定点. 这些点确实可以和 $M$ 的点对应起来.

•	半稳定点. 在这些点上定义一个等价关系, 即 “$S$-等价”, 这些点的 $S$-等价类能与 $M$ 的点对应起来.

•	不稳定点. 这些点需要扔掉, 它们不出现在 $M$ 中.

从而, $M$ 是包含其中稳定点、半稳定点的代数簇.

原始的几何不变量理论考虑的是形如$$\mathcal{M}=[X/G]$$的商叠, 其中 $X$ 是仿射代数簇或射影代数簇, 而 $G$ 是代数群. 上述过程给出了某种意义下的 “商簇” $M=X//G$. 当 $X=\mathrm{Spec}(A)$ 是仿射代数簇时, 选取平凡的稳定判据, 则有$$M=\mathrm{Spec}(A^G),$$其中 $A^G$ 是 $A$ 中在 $G$ 作用下不变的元素构成的子代数, 即 $G$-不变量的子代数, 这是几何不变量理论的名称来源.

1参考文献

几何不变量理论的经典教科书:

•	D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan (1994). Geometric invariant theory. Ergeb. Math. Grenzgeb. 34. Springer-Verlag. (doi) (zbMATH)

2相关概念

术语翻译

几何不变量理论 • 英文 geometric invariant theory (GIT) • 法文 théorie géométrique des invariants • 日文 幾何学的不変式論 (きかがくてきふへんしきろん)