代数叠

代数叠 (又称为 Artin 叠) 是一种叠, 是在代数几何的意义下, 带有几何结构的叠, 即几何叠在代数几何中的特例.

直观来说, 代数叠是看起来像概形, 但更一般的空间. 其与概形的主要区别在于, 代数叠中的点可以有非平凡的自同构群. 例如, 对代数群 $G$, 有代数叠 $[\ast /G]$, 称为 $G$-主丛的分类叠. 该叠只有一个点, 但该点具有非平凡的自同构群 $G$.

代数叠是 Deligne–Mumford 叠的推广. 大致说, 在代数叠中, 点的自同构群可以是任何代数群, 但在 Deligne–Mumford 叠中, 点的自同构群一定是离散的有限群. 而两者又都是代数空间的推广. 在代数空间中, 不允许点具有非平凡的自同构群.

在导出代数几何中, 代数叠可以推广为代数 $\infty$-叠、导出代数 $\infty$-叠.

1定义

设 $S$ 是概形, 记 ${\mathsf{Sch}}_S$ 为 $S$-概形的范畴. 选取下列几种 Grothendieck 拓扑之一, 以将 ${\mathsf{Sch}}_S$ 视为景:

•	平展拓扑.
•	fppf 拓扑.
•	fpqc 拓扑.

我们称景 ${\mathsf{Sch}}_S$ 上的叠为 “$S$-叠”.

当然, 选取不同的拓扑将会得到不同的代数叠的概念, 但它们大同小异, 见 [Laumon–Moret-Bailly 2000, §9].

定义 1.1 (可表态射). 称 $S$-叠的态射 $f:X\to Y$ 为可表态射, 如果对任何 $S$-概形 $U$, 及任何 $S$-叠的态射 $U\to Y$, $S$-叠的纤维积 $U{\times }_{Y}X$ 都是 $S$ 上的代数空间.

直观来说, 我们把可表态射想成是纤维都是代数空间 (而不是叠) 的态射.

概形态射的某些性质, 例如光滑、满等等, 被拉回保持. 这些性质可以自然推广到 $S$ 上代数空间的态射, 进而自然推广到 $S$-叠的可表态射: 称可表态射 $f:X\to Y$ 具有性质 $P$, 如果对任何 $S$-概形 $U$, 及任何 $S$-叠的态射 $U\to Y$, 将 $f$ 沿之拉回得到的代数空间态射 $U{\times }_{Y}X\to U$ 都具有性质 $P$.

定义 1.2 (代数叠). 设 $S$ 是概形, 在 ${\mathsf{Sch}}_S$ 上选取上述一种拓扑. 定义 $S$ 上的代数叠为景 ${\mathsf{Sch}}_S$ 上的叠 $X$, 满足以下条件:

•	对角态射 ${\Delta }_{X/S}:X\to X{\times }_{S}X$ 是可表态射 (定义 1.1).

•	存在 $S$-概形 $U$, 及光滑、满的态射 $U\to X$, 称为 $X$ 的图册. (这样的态射自动是可表的.)

上述定义中, 两个条件的直观含义可以解释如下.

•	第二条性质保证了代数叠具有与概形类似的几何结构. 正如流形可以被 Euclid 空间覆盖, 代数叠总可以被概形覆盖.

•	第一条性质, 大致来说, 保证了点的自同构群是代数群 (其实是群代数空间), 因为对角态射的纤维给出的就是自同构群, 而要求对角态射可表也就是要求该自同构群是个代数空间, 而不是个不可表的函子.

注 1.3. 在定义 1.2 中, 若去掉第一条, 并假设第二条中的态射可表, 则得到的定义是等价的 [Stacks, 06DC]. 也就是说, 存在可表的图册蕴含了对角态射可表.

2相关概念

•	Deligne–Mumford 叠
•	Artin 可表性定理
•	代数 $\infty$-叠、导出代数 $\infty$-叠

3参考文献

经典的教科书:

•	Gérard Laumon, Laurent Moret-Bailly (2000). Champs algébriques. Ergeb. Math. Grenzgeb., 3. Folge 39. Springer. (zbMATH)

从例子出发的介绍文章:

•	Tomás L. Gómez (2001). “Algebraic stacks”. Proc. Indian Acad. Sci., Math. Sci. 111 (1), 1–31. arXiv: math/9911199 [math.AG]. (doi) (zbMATH)

一般参考:

•	The Stacks project.

术语翻译

代数叠 • 英文 algebraic stack • 法文 champ algébrique (m)

Artin 叠 • 英文 Artin stack • 法文 champ d’Artin (m)