周群

周群是代数几何中的一种构造, 以周炜良命名. 大致来说, 它是对代数拓扑中奇异同调的模拟. 对域 $k$ 上的 $n$ 维代数簇 $X$, 其各阶周群为 Abel 群$${\mathrm{CH}}_i(X)={\mathrm{CH}}^{n-i}(X)(i=0,\dots ,n),$$其元素为 $X$ 中 $i$ 维闭子簇的线性组合, 称为代数圈, 并商去某个等价关系, 即有理等价. 上述两种记号类比于代数拓扑中的同调、上同调的记号. 代数圈的相交赋予 ${\mathrm{CH}}^{\bullet }(X)$ 乘法, 使之成为分次环, 称为周环.

更确切地说, 周群应类比于代数拓扑中的 Borel–Moore 同调. 对复数域 $\mathbb{C}$ 上的代数簇而言, 有圈映射将其第 $i$ 阶周群映到其通常拓扑下的第 $2i$ 阶 Borel–Moore 同调, 该映射有时是同构, 例如对仿射空间、射影空间皆如此. 周群也有可能更复杂, 例如椭圆曲线 $X$ 的第 $0$ 阶周群为 $X(k)\oplus \mathbb{Z}$, 其中 $X(k)$ 为 $X$ 的有理点的群, 当 $k=\mathbb{C}$ 时该群不可数.

周群是母题上同调的一部分, 后者记录周群作为关于有理等价的商空间的高阶同伦群的信息.

1定义

定义 1.1. 设 $k$ 是域, $X$ 是 $k$-代数簇, $i\ge 0$ 为整数.

•	$X$ 上的 $i$ 维代数圈是指形如$$\alpha =\sum _{Z\subset X}{n}_Z\cdot [Z]$$的表达式, 其中 $Z$ 取遍 $X$ 中整 $i$ 维闭子概形, 各系数 $n_Z\in \mathbb{Z}$, 且只有有限个非零. 所有这样的代数圈构成 Abel 群 $Z_i(X)$.

•	称 $X$ 上的 $i$ 维代数圈 $\alpha ,{\alpha }^{\prime }$ 有理等价, 是指存在有限个整 $(i+1)$ 维闭子概形 $(W_j\subset X{)}_{j\in J}$, 及 $W_j$ 上的非零有理函数 $f_j\in R(W_j{)}^{\times }$, 使得$$\alpha -{\alpha }^{\prime }=\sum _{j\in J}\mathrm{div}(f_j),$$其中 $\mathrm{div}(f_j)$ 是 $f_j$ 在 $W_j$ 上定义的主除子, 视为 $X$ 上的 $i$ 维代数圈.

•	$X$ 的第 $i$ 阶周群定义为$${\mathrm{CH}}_i(X)=Z_i(X)/\sim ,$$其中 $\sim$ 指有理等价, 即由有理等价于 $0$ 的代数圈构成的子群. 若 $X$ 是 $n$ 维代数簇, 则也定义$${\mathrm{CH}}^{n-i}(X)={\mathrm{CH}}_i(X).$$

周群也可以对更一般的概形定义; 详见 [Stacks, 02RW].

2例子

•	若 $X$ 是 $n$ 维整代数簇, 则 ${\mathrm{CH}}_n(X)={\mathrm{CH}}^0(X)\simeq \mathbb{Z}$, 其生成元为 $[X]$.

•	若 $X$ 是 $n$ 维代数簇, 则 ${\mathrm{CH}}_{n-1}(X)={\mathrm{CH}}^1(X)$ 同构于 $X$ 的 Weil 除子类群 $\mathrm{Cl}(X)$.

3参考文献

•	The Stacks project.

4相关概念

术语翻译

周群 • 英文 Chow group • 德文 Chow-Gruppe (f) • 法文 groupe de Chow (m) • 日文 チャウ群 • 韩文 차우 군