K3 曲面

在复几何中, K3 曲面是一类二维复流形, 是所有紧、连通二维 Calabi–丘流形中除了复环面以外的那些, 也是所有单连通的那些. K3 曲面都具有 Kähler 流形的结构, 并且, 由于二维 Calabi–丘流形的条件意味着该复流形具有非零的全纯 $2$-形式, 从而是全纯辛形式, 这也赋予了 K3 曲面超 Kähler 流形的结构. 所有 K3 曲面作为 $4$ 维光滑流形都微分同胚.

在代数几何中, 也有相应的 K3 曲面的概念, 是指满足类似条件的二维 Calabi–丘簇.

K3 曲面是以 Kummer、Kähler、Kodaira 三人的名字命名的.

1定义

复 K3 曲面

定义 1.1. (复) K3 曲面是指二维紧、连通复流形 $X$, 满足以下条件:

•	$X$ 是 Calabi–丘流形. 即 $X$ 的典范丛 $K_X$ 同构于平凡线丛 ${\mathcal{O}}_X$.

•

$X$ 单连通.

这里, $X$ 单连通的条件仅是为了剔除那些复环面, 因此该条件可以换成很多与之等价的条件.

代数 K3 曲面

定义 1.2. 域 $k$ 上的 (代数) K3 曲面是指 $k$ 上紧合、光滑的代数曲面 $X$, 满足以下条件:

•	$X$ 是 Calabi–丘簇, 即 $X$ 的典范丛 $K_X$ 同构于平凡线丛 ${\mathcal{O}}_X$.

•	凝聚层上同调 $H^1(X,{\mathcal{O}}_X)=0$.

2性质

•	K3 曲面的 Hodge 菱形是$$\begin{array}{ccccc}& & 1& & \\ & 0& & 0& \\ 1& & \text{20}& & 1\\ & 0& & 0& \\ & & 1& & \text{ .}\end{array}$$

3参考文献

•	Daniel Huybrechts (2016). Lectures on K3 surfaces. Cambridge University Press. (doi) (zbMATH) (pdf)

4相关概念

术语翻译

K3 曲面 • 英文 K3 surface • 德文 K3-Fläche (f) • 法文 surface K3 (f) • 日文 K3 曲面 • 韩文 K3 곡면 (K3 曲面)