Riemann–Roch 定理

Riemann–Roch 定理是代数曲线和紧 Riemann 面理论中的重要定理, 将线丛的 Euler 示性数、曲线的亏格、线丛的次数三者联系起来.

1陈述

设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上紧光滑连通代数曲线或 紧 Riemann 面, 亏格为 $g$.

定理 1.1 (线丛版本). 对 $X$ 上线丛 $\mathcal{L}$, 有$$\chi (\mathcal{L})=\mathrm{deg}(\mathcal{L})+1-g.$$其中 $\chi (\mathcal{L})=h^0(\mathcal{L})-h^1(\mathcal{L})$ 为 Euler 数, 由 Serre 对偶也等于 $h^0(\mathcal{L})-h^0({\mathcal{L}}^{-1}\otimes {\omega }_X)$, 其中 ${\omega }_X$ 是典范线丛; $\mathrm{deg}(\mathcal{L})$ 为次数, 即 $\mathcal{L}$ 的有理截面或亚纯截面的零点个数 (计重数; 极点算作负数).

以下除子版本显得更初等.

定理 1.2 (除子版本). 设 $D={\sum }_{P\in X}{n}_{P}P$ 是 $X$ 上除子, 其中 $n_P\in \mathbb{Z}$, 只有有限个非零. 则有$$h^0(D)-h^0(K_X-D)=\mathrm{deg}(D)+1-g.$$其中 $K_X$ 是典范除子; $\mathrm{deg}(D)={\sum }_{P\in X}{n}_P$; $h^0(D)=\dim \{f\in K(X)\mid \forall P\in X,v_P(f)\ge -n_P\}$, 即极点阶数不超过 $D$ 的有理函数或亚纯函数组成的线性空间的维数.

以下凝聚层版本显得更一般.

定理 1.3 (凝聚层版本). 对 $X$ 上凝聚层 $\mathcal{F}$, 有$$\chi (\mathcal{F})=\mathrm{deg}(\mathcal{F})+(1-g)\mathrm{rk}(\mathcal{F}).$$其中 $\chi (\mathcal{F})=h^0(\mathcal{F})-h^1(\mathcal{F})$ 为 Euler 数; $\mathrm{deg}(\mathcal{F})$ 为次数, 即 $X$ 的 $K$ 群到 $\mathbb{Z}$ 的同态, 满足 $\mathrm{deg}({\mathcal{O}}_X)=0$, 且对任意闭点 $P\in X$, $\mathrm{deg}({\mathcal{O}}_P)=1$; $\mathrm{rk}(\mathcal{F})$ 为秩, 即 $\mathcal{F}$ 在一般点处茎的维数.

2证明

代数曲线情形

直接证明定理 1.3. 由上同调长正合列, $\chi (\mathcal{F})$ 是 $X$ 的 $K$ 群到 $\mathbb{Z}$ 的同态; 等号右边依定义也是 $X$ 的 $K$ 群到 $\mathbb{Z}$ 的同态; 而对 ${\mathcal{O}}_X$ 有$$\chi ({\mathcal{O}}_X)=1-g=\mathrm{deg}({\mathcal{O}}_X)+(1-g)\mathrm{rk}({\mathcal{O}}_X);$$对 ${\mathcal{O}}_P$ 有$$\chi ({\mathcal{O}}_P)=1=\mathrm{deg}({\mathcal{O}}_P)+(1-g)\mathrm{rk}({\mathcal{O}}_P);$$所以只需证 ${\mathcal{O}}_X$ 与 ${\mathcal{O}}_P$, 其中 $P$ 取遍 $X$ 的闭点, 能生成 $K$ 群. 为此任取闭点 $P$, 考虑 $X$ 上凝聚层 $\mathcal{F}$. 由短正合列$$0\to \mathcal{F}(nP)\to \mathcal{F}((n+1)P)\to {\mathcal{O}}_P\to 0,$$只需证对充分大的 $n$, $\mathcal{F}(nP)$ 能被生成. 由于 ${\mathcal{O}}_X(P)$ 丰沛, 对充分大的 $n$, $\mathcal{F}(nP)$ 被整体截面生成. 特别地, 存在 $r=\mathrm{rk}(\mathcal{F})$ 个整体截面, 在一般点 $\eta$ 上组成 ${\mathcal{F}}_{\eta }$ 的一组基. 这些整体截面给出映射 ${\mathcal{O}}_X^{\oplus r}\to \mathcal{F}(nP)$, 在一般点上是同构. 于是由 $X$ 是整概形, 该映射是单射. 其余核 $\mathcal{G}$ 是个凝聚层, 支集不含一般点. 于是由 $X$ 一维, $\mathcal{G}$ 支在有限个闭点上. 这样它就有限长, 于是不难发现它在 $K$ 群中被 $X$ 的闭点的结构层生成.

Riemann 面情形

如有全套复流形理论, 则可用 Kodaira 嵌入快速证明定理. 不过一般的 Riemann 面教材还是会使用较为初等的办法.

用 Kodaira 嵌入

任取 $X$ 的 Riemann 度量 $g$, 则其与 $X$ 的复结构 $J$ 合起来给出近 Kähler 结构 $(X,J,\omega ,g)$, 且由于 $X$ 实维数只有 $2$, 有 $d\omega =0$, 这是个 Kähler 结构. 由于 $H^2(X;\mathbb{R})=H^2(X;\mathbb{Z}){\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}$, 乘以正实数可设 $\omega \in H^2(X;\mathbb{Z})$. 由 Lefschetz $(1,1)$ 定理, 存在线丛 $\mathcal{H}$ 使其第一陈类是 $\omega$. 于是 $\mathcal{H}$ 为正线丛, Kodaira 嵌入就表明 $X$ 能嵌入射影空间 ${\mathbb{P}}^n$. 这样 $X$ 就是复代数曲线, 由代数曲线 Riemann–Roch 即得结论.

注 2.1. 得到正线丛 $\mathcal{H}$ 之后也可不直接化归到代数曲线情形, 而照抄那里的证明: Kodaira 嵌入说明 $\mathcal{H}$ 丰沛, 故以 ${\mathcal{H}}^n$ 代替 $\mathcal{H}$ 可设 $\mathcal{H}$ 极丰沛, 特别地被整体截面生成. 取截面之后可写 $\mathcal{H}=\mathcal{O}(H)$, $H$ 为有效除子. 现在类似地写短正合列$$0\to \mathcal{L}(nH)\to \mathcal{L}((n+1)H)\to {\mathcal{O}}_H\to 0,$$化归到 $n$ 充分大, 再取 $\mathcal{L}(nH)$ 的截面, 定理也就同样化归到对 ${\mathcal{O}}_X$ 与形如 ${\mathcal{O}}_D$, $D$ 为有效除子这两种情况分别验证.

初等方法

3应用

4推广

Hirzebruch–Riemann–Roch 定理将其推广到高维的紧光滑代数簇或紧复流形. Grothendieck–Riemann–Roch 定理将其推广到相对情形, 即代数簇之间的映射.

5相关概念

•	代数曲线
•	Riemann 面
•	Serre 对偶
•	$K$ 群

术语翻译

Riemann–Roch 定理 • 英文 Riemann–Roch theorem • 德文 Satz von Riemann–Roch • 法文 théorème de Riemann–Roch