陈类

本文介绍的是拓扑学里的概念. 关于代数几何里的概念, 请参见 “陈类 (代数几何)”.

在代数拓扑中, 陈类是对复向量丛定义的示性类, 以陈省身命名. 对秩 $n$ 的复向量丛 $E\to X$ 而言, 其 $n$ 个陈类为普通上同调类$$c_k(E)\in H^{2k}(X;\mathbb{Z}),$$其中 $k=1,\dots ,n$. 这些示性类反映了向量丛 $E$ 的性质. 从某种意义上说, 它们反映了 $E$ 的 “扭曲程度”. 例如, 若 $E$ 是平凡丛, 则其所有陈类均为 $0$.

1定义

我们叙述一种简洁而典范的定义, 它用到了分类空间.

酉群 $\mathrm{U}(n)$ 的分类空间 $\mathrm{BU}(n)$ 可以视为秩 $n$ 的复向量丛的分类空间. 也就是说, 存在万有的复向量丛 $U\to \mathrm{BU}(n)$, 使得任何秩 $n$ 的复向量丛 $E\to X$ 都是 $U$ 关于某个映射 $X\to \mathrm{BU}(n)$ 的拉回. 并且, 这一构造给出了双射$${\mathrm{Vect}}_n(X)\simeq [X,\mathrm{BU}(n)],$$其中左边是 $X$ 上秩 $n$ 的复向量丛的同构类的集合, 右边是 $X$ 到 $\mathrm{BU}(n)$ 的连续映射的同伦类的集合.

上述事实可以解释如下. 通过向量丛的标架丛的构造, 我们可以将复向量丛与 $\mathrm{GL}(n;\mathbb{C})$-主丛等同起来. 因此, 拓扑空间 $X$ 上秩 $n$ 的复向量丛等同于 $X$ 到分类空间 $\mathrm{BGL}(n;\mathbb{C})$ 的映射的同伦类. 而 $\mathrm{BGL}(n;\mathbb{C})$ 同伦等价于 $\mathrm{BU}(n)$, 在文献中习惯使用后者.

可以证明, 分类空间 $\mathrm{BU}(n)$ 的上同调环为$$H^{\bullet }(\mathrm{BU}(n);\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}[c_1,\dots ,c_n],$$其证明可以暂时参见讲义: 示性类. 这里, 元素 $c_k$ 就称为第 $k$ 陈类, 它是一种示性类, 也就是说, 对于任何复向量丛 $E\to X$, 若 $f_E:X\to \mathrm{BU}(n)$ 是上述对应关系下 $E$ 所对应的映射, 则可定义 $c_k(E)=f_E^{\ast }(c_k)$ 为 $E$ 的第 $k$ 陈类. 上述同构也说明, 陈类及其多项式给出了复向量丛所有可能的示性类.

定义 1.1 (陈类). 对自然数 $n,k$, 定义陈类$$c_k\in H^{2k}(\mathrm{BU}(n);\mathbb{Z})$$为以下性质决定的上同调类.

•	$c_0=1$, 且若 $k>n$, 则 $c_k=0$.

•	若 $n=k=1$, 则元素 $c_1\in H^2(\mathrm{BU}(1);\mathbb{Z})$ 是其自然的生成元, 由普通上同调的可表性及同伦等价 $\mathrm{BU}(1)\simeq K(\mathbb{Z},2)$ 给出.

•	若 $\oplus :\mathrm{BU}(m)\times \mathrm{BU}(n)\to \mathrm{BU}(m+n)$ 是直和映射, 则 $i^{\ast }(c_k)={\sum }_{j=0}^k{c}_j⊠c_{k-j}$.

定义全陈类$$c=1+c_1+\cdots +c_n\in H^{\bullet }(\mathrm{BU}(n);\mathbb{Z}).$$

定义 1.2 (向量丛的陈类). 设 $X$ 为仿紧空间, $p:E\to X$ 为秩 $n$ 的复向量丛. 记 $f_E:X\to \mathrm{BU}(n)$ 为其对应的映射. 对 $k=1,\dots ,n$, 定义 $E$ 的第 $\mathbf{k}$ 陈类为$$c_k(E)=f_E^{\ast }(c_k)\in H^{2k}(X;\mathbb{Z}),$$并定义 $E$ 的全陈类为$$c(E)=f_E^{\ast }(c)=1+c_1(E)+\cdots +c_n(E)\in H^{\bullet }(X;\mathbb{Z}).$$

2例子

•	对正整数 $n$, 复射影空间 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$ 上的重言线丛 $\mathcal{O}(-1)$ 之全陈类为 $1-H$, 其中 $H$ 为超平面类, 即子复流形 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^{n-1}$ 在 Poincaré 对偶下对应的上同调类.

3性质

基本性质

以下性质是定义的直接推论.

•	对拓扑空间的连续映射 $f:Y\to X$ 和 $X$ 上的复向量丛 $E$, 有 $f^{\ast }(c(E))=c(f^{\ast }(E))$.

•	(Whitney 乘积公式) 对 $X$ 上的复向量丛 $E$, $F$, 有 $c(E\oplus F)=c(E)c(F)$.

下面的命题描述了陈类与张量积的联系.

命题 3.1 (张量积). 对 $X$ 上的复线丛 $L_1,L_2$, 有 $c_1(L_1\otimes L_2)=c_1(L_1)+c_1(L_2)$.

通过分裂原理, 可以由此得到一般向量丛张量积的陈类的公式.

几何性质

陈–Weil 理论和层论定义

(...)

4推广

•

色谱同伦论

5相关概念

•

陈数

术语翻译

陈类 • 英文 Chern class • 德文 Chernklasse • 法文 classe de Chern

全陈类 • 英文 total Chern class • 德文 totale Chernklasse • 法文 classe de Chern totale