Stiefel–Whitney 类

在代数拓扑中, Stiefel–Whitney 类是对实向量丛定义的示性类. 对秩 $n$ 的实向量丛 $E\to X$ 而言, 其 $k$ 个 Stiefel–Whitney 类为模 $2$ 系数的普通上同调类$$w_k(E)\in H^k(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}),$$其中 $k=1,\dots ,n$.

这些示性类反映了向量丛 $E$ 的性质. 从某种意义上说, 它们反映了 $E$ 的 “扭曲程度”. 例如, 若 $E$ 是平凡丛, 则其所有 Stiefel–Whitney 类均为 $0$; 不过反之并不成立, 例如 $S^n$ 的切丛的 Stiefel–Whitney 类也均为 $0$.

1定义

定义 1.1 (Stiefel–Whitney 类). 记 $\mathrm{BO}(n)$ 为 $n$ 阶正交群的分类空间, $H^{\bullet }(\mathrm{BO}(n),\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 为其模 $2$ 系数上同调环. 定义 Stiefel–Whitney 类 $w_k\in H^k(\mathrm{BO}(n),\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 为以下性质唯一决定的上同调类:

•	$w_0=1$; 当 $k>n$ 时, $w_k=0$.
•	当 $n=1$ 时, $w_1\ne 0$.
•	设 $f$ 为映射 $\mathrm{O}(k)\times \mathrm{O}(n-k)\to \mathrm{O}(n)$ 诱导的映射 $f:\mathrm{BO}(k)\times \mathrm{BO}(n-k)\to \mathrm{BO}(n)$, 则$$f^{\ast }(c_k)=\sum _{j=0}^k{c}_j⊠c_k.$$

定义 1.2 (向量丛的 Stiefel–Whitney 类). 设 $X$ 为仿紧空间, $p:E\to X$ 是 $X$ 上的 $n$ 维实向量丛. 由于 $\mathrm{BO}(n)$ 分类实向量丛, $E$ 对应 (同伦意义下唯一的) 映射 $f_E:X\to \mathrm{BO}(n)$. 定义 $E$ 的第 $k$ 个 Stiefel–Whitney 类为$$w_k(E)=f_E^{\ast }(w_k)\in H^k(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).$$

定义 $E$ 的全 Stiefel–Whitney 类为$$w(E)=1+w_1(E)+\cdots +w_n(E)\in H^{\bullet }(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).$$

除此之外, Stiefel–Whitney 类也可以用公理刻画, 见命题 3.1.

注 1.3. 事实上有 $H^{\bullet }(\mathrm{BO}(n),\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})[w_1,\dots ,w_n]$, 因此 $w_1,\dots ,w_n$ 的多项式给出了实向量丛的所有模 $2$ 系数示性类.

2例子

•	平凡丛的全 Stiefel–Whitney 类为 $1$.
•	对正整数 $n$, 实射影空间 $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n$ 上的重言丛 $\mathcal{O}(-1)$ 的全 Stiefel–Whitney 类为 $(1+a{)}^n$, 其中 $a$ 是 $H^1(\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 中的唯一非零元.
•	对正整数 $n$, 球面 $S^n$ 的切丛的全 Stiefel–Whitney 类为 $1$, 即对所有 $k>0$ 有 $w_k(\mathrm{T}{S}^n)=0$.

3性质

由定义易知:

•	(函子性) 对连续映射 $f:Y\to X$ 及 $X$ 上的实向量丛 $E$, 有 $w(f^{\ast }(E))=f^{\ast }(w(E))$.
•	(Whitney 乘积公式) 设 $E,E^{\prime }$ 是 $X$ 上的实向量丛, 则 $w(E\oplus E^{\prime })=w(E)\cup w(E^{\prime })$.

命题 3.1 (公理刻画). Stiefel–Whitney 类可以用如下公理唯一刻画:

•	对任意仿紧空间 $X$ 上的有限维实向量丛 $E$, $w(E)=1+w_1(E)+\cdots \in H^{\bullet }(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$
•	设 $\gamma =\mathcal{O}(-1)$ 是 $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^1$ 上的重言线丛, 则 $w_1(\gamma )\ne 0$.
•	若 $k>\mathrm{rank}E$, 则 $w_k(E)=0$;
•	函子性, 即对连续映射 $f:Y\to X$ 及 $X$ 上的实向量丛 $E$, 有 $w(f^{\ast }(E))=f^{\ast }(w(E))$.
•	Whitney 乘积公式, 即若 $E,E^{\prime }$ 是 $X$ 上的实向量丛, 则 $w(E\oplus E^{\prime })=w(E)\cup w(E^{\prime })$.

命题 3.2. 设 $E$ 是 $X$ 上的 $n$ 维实向量丛, 且 $E$ 中存在 $n-k$ 个处处线性无关的截面, 则对任意 $j>k$ 有 $w_j(E)=0$.

命题 3.3 (与 Euler 类的关系). 设 $E$ 是仿紧空间 $X$ 上的 $n$ 维定向实向量丛, $e(E)\in H^n(X,\mathbb{Z})$ 是 $E$ 的 Euler 类, 则$$w_n(E)=e(E)\mathrm{mod}2.$$

一般的, 即使 $E$ 未必可定向, 若 $e(E)\in H^n(X,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 是 $E$ 的 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-定向的 Euler 类, 则 $e(E)=w_n(E)$.