代数拓扑

代数拓扑是一个数学分支, 通过构造拓扑空间的代数不变量, 来研究拓扑空间的性质. 这些不变量当中, 一大部分都被同伦保持, 这也使得同伦和同伦等价成为代数拓扑的核心概念.

1方法

同伦论

拓扑空间 $X$ 的基本群 ${\pi }_1(X)$, 以及更高阶的同伦群 ${\pi }_n(X)$, 是一类重要的不变量.

同伦和同伦等价是代数拓扑的核心概念. 拓扑空间的同伦理论可以使用纯粹的范畴论来研究, 并推广到其它具有类似性质的范畴上. 这种研究产生了同伦代数这一学科.

同调论

拓扑空间的奇异同调、奇异上同调是一类基本的不变量, 对它们的研究促使了同调代数的诞生. 通过对同调、上同调的公理刻画, 还能定义一类广义同调和广义上同调理论, 包括 $K$ 理论等.

复形

胞腔复形 (包括单纯复形、CW 复形) 是一类结构比较简单, 从而便于研究的空间. CW 逼近定理说明, 对任何拓扑空间, 我们都能够挑出一个和它长得很像的 CW 复形. 这样, 对一般空间的研究就简化为对这些复形的研究.

术语翻译

代数拓扑 • 英文 algebraic topology • 德文 algebraische Topologie • 法文 topologie algébrique • 拉丁文 topologia algebraica • 古希腊文 μεταριθμικὴ τοπολογία