K 理论

$\mathbf{K}$ 理论是一类上同调理论, 对不同种类的空间有不同版本, 例如有拓扑 $K$ 理论、代数 $K$ 理论等.

一般而言, 空间 $X$ 的 $K$ 理论 $K(X)$ 是 $X$ 上向量丛范畴的 Grothendieck 群. 换言之, 它是一个 Abel 群, 由形如 $[E]$ 的元素生成, 其中 $E$ 是 $X$ 上的向量丛, 并满足关系$$[E\oplus F]=[E]+[F].$$向量丛的张量积赋予 $K(X)$ 以环结构.

上述构造称为第 $0$ 阶 $K$ 理论. 更一般地, 空间的 $K$ 理论是一个带群结构的同伦型, 其各阶同伦群给出了各阶 $K$ 理论. 当这里的空间是拓扑空间时相应的理论为拓扑 $\mathbf{K}$ 理论. 空间取为交换环的谱时, 相应的范畴是其上的有限生成投射模范畴, 此时相应的 $K$ 理论就是代数 $\mathbf{K}$ 理论. 此外, 空间上的向量丛范畴也可以换成一般的正合范畴, 此时 $K$ 理论仍然能定义.

$K$ 理论由 Alexander Grothendieck 发明, 字母 $K$ 是德文 Klasse (类, 此处指等价类) 的首字母.

1种类

对不同的空间:

•	代数 $K$ 理论
•	拓扑 $K$ 理论

推广:

•	扭转 $K$ 理论
•	等变 $K$ 理论

2相关概念

•	Grothendieck 群
•	广义上同调

术语翻译

$K$ 理论 • 英文 $K$-theory • 德文 $K$-Theorie (f) • 法文 $K$-théorie (f) • 拉丁文 $K$-theoria (f) • 古希腊文 $K$-θεωρία (f)