正合范畴

正合范畴是带有正合列结构的加性范畴. 此概念由 Daniel Quillen 于 20 世纪 70 年代引入, 用来定义代数 $K$ 理论.

1定义

以下叙述正合 $(\infty ,1)$-范畴的定义, 而正合范畴则是指具有相应性质的普通范畴.

定义 1.1. 正合 $(\infty ,1)$-范畴指三元组 $(\mathcal{C},\mathrm{cof}\mathcal{C},\mathrm{fib}\mathcal{C})$, 其中:

1.	$\mathcal{C}$ 是加性 $(\infty ,1)$-范畴.
2.	$\mathrm{cof}\mathcal{C}$ 与 $\mathrm{fib}\mathcal{C}$ 是 $\mathcal{C}$ 的宽子范畴, 其中态射分别称为余纤维化 (或容许单射) 与纤维化 (或容许满射), 满足: ∘ 对任意 $x\in \mathcal{C}$, $0\to x$ 是余纤维化, $x\to 0$ 是纤维化. ∘ 对任意余纤维化 $z\to x$ 以及任意态射 $z\to z^{\prime }$, 推出 $x^{\prime }=x{\bigsqcup }_z{z}^{\prime }$ 存在, 且 $z^{\prime }\to x^{\prime }$ 也是余纤维化; 对偶地, 对任意纤维化 $x\to y$ 以及任意态射 $y^{\prime }\to y$, 拉回 $x^{\prime }=x{\times }_y{y}^{\prime }$ 存在, 且 $x^{\prime }\to y^{\prime }$ 也是纤维化. 简而言之, 余纤维化对推出封闭, 纤维化对拉回封闭.
3.	对交换图$$zx0yip$$以下二者等价: ∘ 它是推出图表且 $i$ 是余纤维化. ∘ 它是拉回图表且 $p$ 是纤维化. 此时称 $z\to x\to y$ 是 $\mathcal{C}$ 中短正合列, 亦记作 $0\to z\to x\to y\to 0$.

正合 $(\infty ,1)$-范畴间正合函子指的是保持余纤维化、纤维化、短正合列的加性 $(\infty ,1)$-函子. 小的正合范畴沿正合函子构成范畴, 记作 $\mathsf{Exact}$.

注 1.2. 上述条件 2 相当于说 $(\mathcal{C},\mathrm{cof}\mathcal{C})$ 是带余纤维化的范畴, $(\mathcal{C},\mathrm{fib}\mathcal{C})$ 是带纤维化的范畴. 容易发现 $(\mathcal{C},\mathrm{cof}\mathcal{C},\mathrm{fib}\mathcal{C})\mapsto (\mathcal{C},\mathrm{cof}\mathcal{C})$ 给出满忠实函子 $\mathsf{Exact}\to \mathsf{Wald}$, 于是正合范畴可看成一类特殊的 Waldhausen 范畴.

注 1.3. 上述条件 3 等价于更强的

3${}^{\prime }$.

对交换图$$zxwyi{p}^{\prime }p{i}^{\prime }$$以下二者等价: ∘ 它是推出图表, $i$ 是余纤维化, $p^{\prime }$ 是纤维化. ∘ 它是拉回图表, $p$ 是纤维化, $i^{\prime }$ 是余纤维化.

比如我们来从上述第一条推第二条. 为此把它延长为$$kzx0wy0cji{p}^{\prime }p{i}^{\prime }$$使得下方块是推出, 左方块是拉回. 对下方块和纵向大方块用条件 3, 知它们都是拉回, 这样原方块也是拉回. 由于推出保持余纤维化, $i^{\prime }$ 自然是余纤维化. 对左方块用条件 3, 知 $j$ 是余纤维化, 从而 $ij$ 也是; 再对横向大方块用条件 3, 知 $p$ 是纤维化. 从证明容易看出, 正合函子保持此种方块图表; 将其称为正合范畴的纤维方块.

2例子

例 2.1. 加性 $(\infty ,1)$-范畴都有如下极小正合结构: 余纤维化取成分裂单射, 即同构于含入 $A\to A\oplus B$ 的态射, 纤维化取成分裂满射, 即同构于投影 $A\oplus B\to B$ 的态射. 在极小正合结构下, 加性函子都是正合函子. 注意以下几例中的正合结构都不极小.

例 2.2. Abel 范畴都是正合范畴, 其中余纤维化取成单射, 纤维化取成满射. 这种正合结构的正合函子和通常的正合函子概念吻合.

例 2.3. 稳定 $(\infty ,1)$-范畴都是正合 $(\infty ,1)$-范畴, 其中余纤维化和纤维化都取成所有的态射. 这种正合结构的正合函子和通常的正合函子概念吻合.

例 2.4. 半稳定 $(\infty ,1)$-范畴都是正合 $(\infty ,1)$-范畴, 其中余纤维化取成所有态射.

例 2.5. 设 $\mathcal{C}$ 是稳定 $(\infty ,1)$-范畴, $({\mathcal{C}}_{\ge 0},{\mathcal{C}}_{\le 0})$ 是其 t 结构. 则对 $-\infty \le a\le b\le +\infty$, 满子范畴 ${\mathcal{C}}_{[a,b]}$ 是正合范畴, 其中余纤维化和纤维化定义如下: 如 $\mathcal{C}$ 的推出图表 (也就是拉回图表) $$ZX0Y$$中 $X,Y,Z$ 都属于 ${\mathcal{C}}_{[a,b]}$, 则 $Z\to X$ 是余纤维化, $X\to Y$ 是纤维化. 本例是例 2.2 和例 2.3 的共同推广.

3性质

嵌入 Abel 范畴

命题 3.1. 设 $\mathcal{C}$ 是小正合范畴. 则存在 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 和全忠实加性函子$$i:\mathcal{C}\hookrightarrow \mathcal{A},$$使得 $\mathrm{cof}\mathcal{C}$ 与 $\mathrm{fib}\mathcal{C}$ 分别由那些在 $\mathcal{A}$ 中是单射、满射的态射构成, 且对 $\mathcal{A}$ 中任何短正合列 $0\to z\to x\to y\to 0$, 若 $z,y$ 在 $i$ 的本质像中, 则 $x$ 也在.

其证明见 [Quillen 1973, §2].

4构造

(写正合范畴的导出范畴.)

5参考文献

原始文献:

•	Daniel Quillen (1973). “Higher algebraic $K$-theory. I”. 出自 Algebraic $K$-theory. I. Lect. Notes Math. 341. 85–147. (zbMATH)

6相关概念

•	Waldhausen 范畴
•	Quillen $Q$ 构造
•	代数 $K$ 理论

术语翻译

正合范畴 • 英文 exact category • 法文 catégorie exacte • 拉丁文 categoria exacta