t 结构

同调代数中, t 结构是三角范畴或稳定 $\infty$-范畴的附加结构, 模拟 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 的导出范畴 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$ 中 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(\mathcal{A})$ 与 ${\mathsf{D}}_{\le 0}(\mathcal{A})$ 两个子范畴. 它可以认为是导出范畴构造的一种逆, 从三角范畴反过来得到 Abel 范畴, 并给其中对象赋予取值在 Abel 范畴的各阶同调. t 结构是错致层的基础, 由 Beilinson, Bernstein, Deligne 在《Faisceaux pervers》中引入.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 为三角范畴或稳定 $\infty$-范畴. $\mathcal{C}$ 的 t 结构, 指的是二元组 $({\mathcal{C}}_{\ge 0},{\mathcal{C}}_{\le 0})$, 满足:

1.	${\mathcal{C}}_{\ge 0}$ 和 ${\mathcal{C}}_{\le 0}$ 都是 $\mathcal{C}$ 的满子范畴, 且关于同构封闭, 即只要包含某个对象, 就包含与之同构的所有对象.
2.	对 $n\in \mathbb{Z}$, 记 ${\mathcal{C}}_{\ge n}={\mathcal{C}}_{\ge 0}[n]$, ${\mathcal{C}}_{\le n}={\mathcal{C}}_{\le 0}[n]$. 则 ${\mathcal{C}}_{\ge 1}\subseteq {\mathcal{C}}_{\ge 0}$, ${\mathcal{C}}_{\le 0}\subseteq {\mathcal{C}}_{\le 1}$.
3.	对 $x\in {\mathcal{C}}_{\ge 1}$, $y\in {\mathcal{C}}_{\le 0}$, 有 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)=0$.
4.	对 $x\in \mathcal{C}$, 存在正合三角 $x^{\prime }\to x\to x^{\prime \prime }$, 其中 $x^{\prime }\in {\mathcal{C}}_{\ge 1}$, $x^{\prime \prime }\in {\mathcal{C}}_{\le 0}$.

注 1.2. 这里使用同调记号. 使用上同调记号则是 ${\mathcal{C}}^{\ge 0}={\mathcal{C}}_{\le 0}$, ${\mathcal{C}}^{\le 0}={\mathcal{C}}_{\ge 0}$, 或更一般地, ${\mathcal{C}}^{\ge n}={\mathcal{C}}_{\le -n}$, ${\mathcal{C}}^{\le n}={\mathcal{C}}_{\ge -n}$.

注 1.3. 显然, 2 可以推出对整数 $n\ge m$, ${\mathcal{C}}_{\ge n}\subseteq {\mathcal{C}}_{\ge m}$, ${\mathcal{C}}_{\le m}\subseteq {\mathcal{C}}_{\le n}$.

注 1.4. 在稳定无穷范畴情形, 上面的 3 指的是映射空间, 而非映射谱. 以下说明稳定无穷范畴 $\mathcal{C}$ 的 t 结构相当于其同伦范畴 $\mathrm{h}\mathcal{C}$ 的 t 结构. 显然除 3 之外的条件都一样, 故只需说明, 在有其它条件时, 以下条件能推出 3:

3${}^{\prime }$.

对 $x\in {\mathcal{C}}_{\ge 1}$, $y\in {\mathcal{C}}_{\le 0}$, 有 ${\pi }_0{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)=0$.

这是因为对 $n\in \mathbb{N}$, 有 $x[n]\in {\mathcal{C}}_{\ge n+1}\subseteq {\mathcal{C}}_{\ge 1}$, 从而对 $x\in {\mathcal{C}}_{\ge 1}$, $y\in {\mathcal{C}}_{\le 0}$, 有 ${\pi }_n{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)={\pi }_0{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x[n],y)=0$, 即映射空间可缩.

定义 1.5. 称稳定 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 的 t 结构 $({\mathcal{C}}_{\ge 0},{\mathcal{C}}_{\le 0})$ 为:

•	左有界, 指 $\mathcal{C}={\bigcup }_{n\in \mathbb{Z}}{\mathcal{C}}_{\le n}$.

•	右有界, 指 $\mathcal{C}={\bigcup }_{n\in \mathbb{Z}}{\mathcal{C}}_{\ge n}$.

•	有界, 指它左有界且右有界.

•	左分离, 指 ${\bigcap }_{n\in \mathbb{Z}}{\mathcal{C}}_{\ge n}=0$.

•	右分离, 指 ${\bigcap }_{n\in \mathbb{Z}}{\mathcal{C}}_{\le n}=0$.

•	左完备, 指 $\mathcal{C}={\lim }_{n\to \infty }{\mathcal{C}}_{\le n}$, 其中极限在 $\infty$-范畴的 $\infty$-范畴 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中取, 转移映射是 ${\tau }_{\le n}$.

•	右完备, 指 $\mathcal{C}={\lim }_{n\to -\infty }{\mathcal{C}}_{\ge n}$, 其中极限在 $\infty$-范畴的 $\infty$-范畴 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中取, 转移映射是 ${\tau }_{\ge n}$.

定义 1.6. 设 $\mathcal{C}$ 为可表现稳定无穷范畴. 称 t 结构 $({\mathcal{C}}_{\ge 0},{\mathcal{C}}_{\le 0})$ 为可达或可表现, 指的是子范畴 ${\mathcal{C}}_{\ge 0}\subseteq \mathcal{C}$ 为可表现.

2性质

以下沿用定义 1.1 中记号.

命题 2.1 (截断). 定义 1.1 的条件 4 中的 $x^{\prime }$ 与 $x^{\prime \prime }$ 唯一. 分别将其记作 ${\tau }_{\ge 1}x$ 与 ${\tau }_{\le 0}x$, 并对 $n\in \mathbb{Z}$ 记 ${\tau }_{\le n}x={\tau }_{\le 0}(x[-n])[n]$, 另一边类似, 称为关于该 t 结构的截断. 则 ${\tau }_{\ge n}$ 是 $\mathcal{C}$ 到 ${\mathcal{C}}_{\ge n}$ 的函子, ${\tau }_{\le n}$ 是 $\mathcal{C}$ 到 ${\mathcal{C}}_{\le n}$ 的函子, 且这些函子两两交换.

定理 2.2 (心). 满子范畴 ${\mathcal{C}}_{\ge 0}\cap {\mathcal{C}}_{\le 0}$ 是 Abel 范畴. 称之为 t 结构的心, 记作 ${\mathcal{C}}^{♡}$.

命题 2.3 (同调). 对 $x\in \mathcal{C}$, 记 $H_n(x)=({\tau }_{\ge n}{\tau }_{\le n}x)[-n]\in {\mathcal{C}}^{♡}$, 称为 $x$ 关于该 t 结构的同调. 则对正合三角 $x\to y\to z$, 序列$$\cdots \to H_n(x)\to H_n(y)\to H_n(z)\to H_{n-1}(x)\to \cdots$$为 ${\mathcal{C}}^{♡}$ 中长正合列.

下面的命题说明 t 结构被其半边子范畴决定, 且在可表现情形可用半边子范畴作出 t 结构.

命题 2.4. 二元组 $({\mathcal{C}}_{\ge 0},{\mathcal{C}}_{\le 0})$ 中两者相互决定. 具体地说, $$\begin{gathered} {\mathcal{C}}_{\le 0}=\{y\in \mathcal{C}\mid \forall x\in {\mathcal{C}}_{\ge 1},{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)=0\}, \\ {\mathcal{C}}_{\ge 0}=\{x\in \mathcal{C}\mid \forall y\in {\mathcal{C}}_{\le -1},{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)=0\}. \end{gathered}$$

定理 2.5. 设 $\mathcal{C}$ 是可表现稳定无穷范畴, ${\mathcal{C}}^{\prime }\subseteq \mathcal{C}$ 是可表现满子范畴, 对余极限、扩张封闭, 即 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 的对象在 $\mathcal{C}$ 中的余极限都属于 ${\mathcal{C}}^{\prime }$, 且对正合三角 $x\to y\to z$, 只要 $x,z\in {\mathcal{C}}^{\prime }$ 就有 $y\in {\mathcal{C}}^{\prime }$. 则存在唯一 t 结构 $({\mathcal{C}}_{\ge 0},{\mathcal{C}}_{\le 0})$ 使得 ${\mathcal{C}}_{\ge 0}={\mathcal{C}}^{\prime }$.

3例子

•	对任何 $\mathcal{C}$, 总有两个平凡的 t 结构 $(\mathcal{C},0)$ 与 $(0,\mathcal{C})$, 心都是 $0$.
•	对 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 的导出范畴 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$, 总有 $({\mathsf{D}}_{\ge 0}(\mathcal{A}),{\mathsf{D}}_{\le 0}(\mathcal{A}))$ 是 t 结构, 称为 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$ 的标准 t 结构, 其心是 $\mathcal{A}$.
•	谱的 $\infty$-范畴 $\mathsf{Sp}$ 也有标准 t 结构 $({\mathsf{Sp}}_{\ge 0},{\mathsf{Sp}}_{\le 0})$, 定义为 ${\mathsf{Sp}}_{\ge 0}=\{X\in \mathsf{Sp}\mid \forall n<0,{\pi }_{n}X=0\}$, 心是 $\mathsf{Ab}$.
•	如 $\mathcal{C}$ 带有 t 结构, $I$ 是小范畴, 则$${\mathrm{Fun}}_{\ge 0(\le 0)}(I,\mathcal{C})=\mathrm{Fun}(I,{\mathcal{C}}_{\ge 0(\le 0)})$$给出函子范畴 $\mathrm{Fun}(I,\mathcal{C})$ 的 t 结构, 心为 $\mathrm{Fun}(I,{\mathcal{C}}^{♡})$.
•	还有一个有用的例子是 Beilinson t 结构: 如 $\mathcal{C}$ 带有 t 结构, 则滤对象范畴$$\mathrm{Fil}(\mathcal{C})=\mathrm{Fun}({\mathbb{Z}}^{\text{op}},\mathcal{C})=\{\cdots \to X^1\to X^0\to X^{-1}\to \cdots \mid X^n\in \mathcal{C},\forall n\in \mathbb{Z}\}$$可赋予 Beilinson t 结构如下: $${\mathrm{Fil}}_{\le 0}^{\text{B}}(\mathcal{C})=\{X\in \mathrm{Fil}(\mathcal{C})\mid X^n\in {\mathcal{C}}_{\le -n},\forall n\in \mathbb{Z}\}.$$如 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, $\mathcal{C}$ 为 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$ 附带标准 t 结构, 则对上链复形 $C^{\bullet }$, 以 $X^n$ 记暴力截断$$\cdots \to 0\to C^n\to C^{n+1}\to \cdots$$在 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$ 中代表的对象, 则滤复形$$\cdots \to X^1\to X^0\to X^{-1}\to \cdots$$就在 ${\mathrm{Fil}}_{\le 0}^{\text{B}}(\mathcal{C})$ 中. 该 t 结构的心是链复形 Abel 范畴 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$.

4相关概念

•	三角范畴
•	稳定 $\infty$-范畴
•	导出范畴
•	错致层

术语翻译

t 结构 • 英文 t-structure • 德文 t-Struktur (f) • 法文 t-structure (f) • 拉丁文 t-structura (f) • 古希腊文 t-δομή (f)