导出范畴

导出范畴是同调代数中的一种关键的构造. 给定 Abel 范畴 $\mathcal{A}$, 其导出范畴 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$ 是由以下过程得到的范畴: 在 $\mathcal{A}$ 上的链复形范畴 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 中, 将所有拟同构都变得可逆 (即局部化), 得到的就是导出范畴.

导出范畴具有三角范畴的结构.

在当代的观点下, 局部化得到的范畴应该视作 $\infty$-范畴, 因此导出范畴应该更自然地视作导出 $\infty$-范畴, 而普通的导出范畴是其同伦范畴.

1定义

通过局部化

定义 1.1 (导出范畴). 设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴.

•	记 $\mathsf{K}(\mathcal{A})$ 为 $\mathcal{A}$ 上的同伦链复形范畴: 其对象为 $\mathcal{A}$ 上的链复形, 态射为链映射的链同伦类. 定义 $\mathcal{A}$ 的导出范畴为局部化$$\mathsf{D}(\mathcal{A})=\mathsf{K}(\mathcal{A})[{\mathsf{W}}^{-1}],$$其中 $\mathsf{W}$ 是由所有拟同构组成的态射类.

•	定义$${\mathsf{D}}^{+}(\mathcal{A}),{\mathsf{D}}^{-}(\mathcal{A}),{\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}(\mathcal{A})\subset \mathsf{D}(\mathcal{A})$$分别为由下有界链复形、上有界链复形、有界链复形构成的满子范畴. 它们分别称为 $\mathcal{A}$ 的下有界导出范畴、上有界导出范畴、有界导出范畴.

通过消解

2相关概念

•	导出 $\infty$-范畴
•	导出函子
•	拟凝聚导出范畴、凝聚导出范畴

术语翻译

导出范畴 • 英文 derived category • 德文 derivierte Kategorie (f) • 法文 catégorie dérivée (f)