导出 (∞,1)-范畴

导出 $(\infty ,1)$-范畴是导出范畴的高阶版本, 由 Abel 范畴的链复形范畴高阶地逆掉拟同构得到, 它是稳定 $(\infty ,1)$-范畴

1定义

对 Abel 范畴

定义 1.1. 设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 则其导出 $(\infty ,1)$-范畴, 记作 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$, 指其 $(\infty ,1)$-局部化范畴 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})[{\mathsf{W}}^{-1}]$, 其中 $\mathsf{W}\subseteq \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 为拟等价构成的宽子范畴. 设满子范畴 $\mathcal{C}\subseteq \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 对链复形映射锥封闭. 定义 $\mathcal{C}$ 的导出 $(\infty ,1)$-范畴为 $\mathcal{C}$ 到 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$ 的像. 当 $\mathcal{C}$ 为 (上同调) 上有界、下有界、有界链复形的满子范畴时, 其同伦 $(\infty ,1)$-范畴分别称为 (上同调) 上有界、下有界、有界链复形 $(\infty ,1)$-范畴, 记作 ${\mathsf{D}}^{+}(\mathcal{A})$、${\mathsf{D}}^{-}(\mathcal{A})$、${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}(\mathcal{A})$.

对正合范畴

对正合范畴我们也可以定义其有界导出范畴.

2性质

定理 2.1. $\mathsf{D}(\mathcal{A})$ 是稳定无穷范畴.

命题 2.2 (下降). 令 ${\mathcal{A}}^{\bullet }$ 为 $\mathsf{Cat}$ (取脉视为 $(\infty ,1)$-范畴) 中的余单纯对象, 若在 $\mathsf{Cat}$ 中存在极限 $\mathcal{A}:=\underset{n\in \mathbb{\Delta }}{\lim }{\mathcal{A}}^n$. 且满足以下条件:

$(a)$	${\mathcal{A}}^n$ 均为 Grothendieck Abel 范畴.
$(b)$	对于任意 $\mathbb{\Delta }$ 中的态射 $\alpha :[n]\to [m]$, 其诱导的 ${\alpha }^{\ast }:{\mathcal{A}}^n\to {\mathcal{A}}^m$ 是正合的, 并且具有右伴随 ${\alpha }_{\ast }$.
$(c)$	令 $d^i:[n]\to [n+1]$ 表示第 $i$-位余面态射, 则对于任意 $\mathbb{\Delta }$ 中的态射 $\alpha :[n]\to [m]$ , 下述图表自动为 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中的拉回图表. 即存在自然同构 ${\alpha }^{\ast }\circ \mathbb{R}{d}_{\ast }^0\stackrel{\sim }{\to }\mathbb{R}{d}_{\ast }^0\circ {\alpha }^{\prime \ast }$. 此处 ${\alpha }^{\prime }=1_{[0]}\star \alpha$.

则

1.

$\mathcal{A}$ 是 Grothendieck Abel 范畴, 并且满足以下条件: $\mathcal{A}$ 中的对象为二元组 $(X,\alpha )$, 其中 $X$ 为 ${\mathcal{A}}^0$ 中的对象而 $\alpha :(d^0{)}^{\ast }X\stackrel{\sim }{\to }(d^1{)}^{\ast }X$ 为 ${\mathcal{A}}^1$ 中的同构, 并且给出 ${\mathcal{A}}^2$ 中的交换图表$\mathcal{A}$ 中的态射 $(X_1,{\alpha }_1)\to (X_2,{\alpha }_2)$ 为 ${\mathcal{A}}^0$ 中使得 $(d^1{)}^{\ast }f\circ {\alpha }_1={\alpha }_2\circ (d^0{)}^{\ast }f$.

2.

若 $(d^1{)}^{\ast }:{\mathcal{A}}^0\to {\mathcal{A}}^1$ 将内射对象映为 $d_{\ast }^0$-零调对象. 则有自然的范畴等价$${\mathsf{D}}^{+}(\mathcal{A})\stackrel{\sim }{\to }\underset{n\in \mathbb{\Delta }}{\lim }{\mathsf{D}}^{+}({\mathcal{A}}^n).$$右侧的极限取值于 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中. 此外若 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$ 和 $\mathsf{D}({\mathcal{A}}^n)$ 是左完备的, 则上述等价可以延拓为$$\mathsf{D}(\mathcal{A})\stackrel{\sim }{\to }\underset{n\in \mathbb{\Delta }}{\lim }\mathsf{D}({\mathcal{A}}^n).$$

3相关概念

术语翻译

导出 $(\infty ,1)$-范畴 • 英文 derived $(\infty ,1)$-category