An-代数

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

高阶代数中, ${\mathbb{A}}_{\mathbf{n}}$-代数是结合代数的推广, 它不要求完整的结合律, 只要求 $n$ 个元素相乘可以同伦连贯地结合. 当底范畴为 $(n-2)$-范畴时, ${\mathbb{A}}_n$-代数就是结合代数.

1定义

我们用代数模式定义, 这样比较简明.

定义 1.1 (${\mathbb{A}}_n$ 模式). 对正整数 $n$, 考虑截断单形范畴 ${\mathbb{\Delta }}_{\le n}^{\mathrm{op}}$, 即不多于 $n+1$ 个元素的全序集依保序映射构成的范畴之反, 也是 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 的满子范畴, 由单形 $[0],[1],\dots ,[n]$ 组成. 把它做成代数模式如下:

•	惰性映射是区间含入之反, 即全序集 $I$ 到全序集 $J$ 的惰性映射为 $J$ 到 $I$ 的保序单射, 满足对 $I$ 中元素 $i^{\prime }\le i\le i^{\prime \prime }$, 只要 $i^{\prime }$ 和 $i^{\prime \prime }$ 在 $J$ 的像中, $i$ 就也在 $J$ 的像中;
•	活性映射是保持端点的映射之反, 即全序集 $I$ 到全序集 $J$ 的活性映射为 $J$ 到 $I$ 的保序映射, 把 $\min J$ 和 $\max J$ 映到 $\min I$ 和 $\max I$;
•	初等对象是二元集 $[1]$;

记此代数模式为 ${\mathbb{A}}_n$, 称为 ${\mathbb{A}}_{\mathbf{n}}$ 模式. 在整个 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 上以同样方法定义的代数模式记作 ${\mathbb{A}}_{\infty }$, 称为 ${\mathbb{A}}_{\infty }$ 模式或结合模式. 这些代数模式之间有一列显然的含入映射$${\mathbb{A}}_1\to {\mathbb{A}}_2\to \cdots \to {\mathbb{A}}_{\infty }.$$

定义 1.2 (${\mathbb{A}}_n$-代数). 设 $\mathcal{C}$ 是幺半范畴, 视为推出纤维化 ${\mathcal{C}}_{\infty }\to {\mathbb{A}}_{\infty }$. $\mathcal{C}$ 中的 ${\mathbb{A}}_{\mathbf{n}}$-代数指俯于 ${\mathbb{A}}_{\infty }$ 上的函子 ${\mathbb{A}}_n\to {\mathcal{C}}_{\infty }$, 把惰性映射打到推出边. 其底对象指 $[1]\in {\mathbb{A}}_n$ 的像, 它自然处于 $\mathcal{C}$ 中.

注 1.3. 显然我们不需要 $\mathcal{C}$ 是幺半范畴来定义其中 ${\mathbb{A}}_n$-代数, 只需要 $\mathcal{C}$ 是 ${\mathbb{A}}_n$-幺半范畴就够了. 不过实际情况下 $\mathcal{C}$ 通常都是幺半范畴.

2相关概念

•	Toda 括号
•	Massey 乘积
•	结合形

术语翻译

${\mathbb{A}}_n$-代数 • 英文 ${\mathbb{A}}_n$-algebra