高阶代数

高阶代数是代数学在高阶范畴论中的推广. 普通的代数学研究代数结构, 例如群、环等, 这些结构都是带有运算的集合. 而高阶代数考虑带有代数结构的空间, 并要求代数结构的运算律, 例如结合律、交换律, 仅在相差同伦的意义下成立.

在高阶代数中, 两类重要的代数结构是:

•	结合代数, 即 ${\mathbb{A}}_{\infty }$-代数, 也即带有乘法运算的空间, 其运算在同伦意义下满足结合律. 这里的同伦意义可以精确地表述为, 该运算满足所有结合多面体给出的同伦关系.

•	交换代数, 即 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-代数, 也即带有乘法运算的空间, 其运算在同伦意义下满足结合律、交换律.

这些代数结构通常通过 $\infty$-算畴而定义.

在代数–几何对偶下, 高阶代数对应高阶几何. 例如, 在代数几何中将交换环推广为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环, 得到谱代数几何, 这就是一种高阶几何.

1参考文献

•	Jacob Lurie (2017). Higher Algebra. (pdf)

术语翻译

高阶代数 • 英文 higher algebra