(∞,1)-算畴

$(\infty ,1)$-算畴是高阶代数中的基本概念, 是算畴和多元范畴在 $(\infty ,1)$-范畴意义下的推广, 其中, 从一族对象到一个对象的多元态射构成一个 $\infty$-群胚, 而不只是集合.

$(\infty ,1)$-算畴可以用来刻画同伦意义下的代数结构, 包括结合代数、交换代数等. 例如, 同伦意义下的结合代数是 ${\mathbb{A}}_{\infty }$-代数, 同伦意义下的交换代数是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-代数.

1定义

通过全范畴

定义 1.1. 令 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 为带点有限集范畴, 其对象为 $(I,\ast )$, 其中 $I$ 为有限集, 而 $\ast \in I$; 态射为保持 $\ast$ 的映射. 记 $⟨n⟩=\{\ast ,1,2,\dots ,n\}\in {\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 显然 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 与所有 $⟨n⟩$ 生成的满子范畴等价.

令 $f:I\to J$ 为 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的态射. 若对任意 $x\in J\setminus \{\ast \}$, $f^{-1}(x)$ 都为单点集, 就说 $f$ 是惰性态射.

对任意 $n$, 记 ${\rho }^i:⟨n⟩\to ⟨1⟩$ 为 ${\rho }^i(i)=1,{\rho }^i(j)=\ast$ 决定的态射.

定义 1.2 ($(\infty ,1)$-算畴). $(\infty ,1)$-算畴指二元组 $\mathcal{O}=({\mathcal{O}}^{\otimes },p)$, 其中

•	${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 是 $(\infty ,1)$-范畴, 称为 $\mathcal{O}$ 的全范畴.

•	$p:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 是 $(\infty ,1)$-函子.

它们满足如下条件: 记 ${\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{\otimes }=p^{-1}(⟨n⟩)$ 为 $p$ 于 $⟨n⟩$ 处的纤维, 则

1.	对 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的任意惰性态射 $f:⟨m⟩\to ⟨n⟩$, 及任意 $C\in {\mathcal{O}}_{⟨m⟩}^{\otimes }$, $f$ 总可以提升为 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中的 $p$-推出态射 $\bar{f}:C\to C^{\prime }$. 特别地, $f$ 诱导了 $(\infty ,1)$-函子 $f_{!}:{\mathcal{O}}_{⟨m⟩}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{\otimes }$.
2.	对任意态射 $f:⟨m⟩\to ⟨n⟩$, 及 $C\in {\mathcal{O}}_{⟨m⟩}^{\otimes },C^{\prime }\in {\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{\otimes }$, 记 ${\mathrm{Map}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}^f(C,C^{\prime })=p^{-1}(f)\subset {\mathrm{Map}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}(C,C^{\prime })$. 对每个 $1\le i\le n$, 将 ${\rho }^i$ 提升为 $p$-推出态射 ${\bar{\rho }}^i:C^{\prime }\to C_i^{\prime }$. 则诸 ${\bar{\rho }}^i$ 诱导的映射$${\mathrm{Map}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}^f(C,C^{\prime })\to \prod _{i=1}^n{\mathrm{Map}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}^{{\rho }^i\circ f}(C,C_i^{\prime })$$为同伦等价.
3.	对任意 $C_1,\dots ,C_n\in {\mathcal{O}}_{⟨1⟩}^{\otimes }$, 存在 $C\in {\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{\otimes }$ 及 ${\rho }^i:⟨n⟩\to ⟨1⟩$ 的 $p$-推出提升 $C\to C_i$.

注 1.3. 条件 3. 等价于说对任意 $n$, 映射 ${\rho }_{!}^i$ 诱导了 $(\infty ,1)$-范畴的等价$${\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{\otimes }\simeq ({\mathcal{O}}_{⟨1⟩}^{\otimes }{)}^n.$$事实上, 条件 1. 2. 保证了该函子是全忠实的.

注 1.4. 将 $(\infty ,1)$-范畴 ${\mathcal{O}}_{⟨1⟩}^{\otimes }$ 也记作 $\mathcal{O}$. 由上条注记, ${\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{\otimes }$ 的对象可以典范地记作 $C=(C_1,C_2,\dots ,C_n)$, 其中 $C_i\in \mathcal{O}$.

定义 $\infty$-群胚$$\mathcal{O}((C_i{)}_{1\le i\le n},C^{\prime })={\mathrm{Map}}_{{\mathcal{O}}^{\otimes }}^{\beta }((C_1,\dots ,C_n),C^{\prime }),$$其中 $\beta$ 为态射 $\beta (k)=1,\beta (\ast )=\ast$. 此空间在同伦意义下是典范的.

因此, 我们可以认为 $(\infty ,1)$-算畴 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 包含了 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{O}$ 及其上配备的 “多元态射” $\mathcal{O}(-,-)$ 的结构, 这些态射的复合满足类似于多元范畴的结合律, 但是仅在同伦意义下成立. 这样的定义避免了对高维的结合律 (例如五边形公理) 的复杂讨论.

定义 1.5. 设 $({\mathcal{O}}^{\otimes },p)$ 为 $(\infty ,1)$-算畴. 若 $f$ 为 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 的态射, 使得 $p(f)$ 惰性且 $f$ 是 $p$-推出, 则称 $f$ 为惰性态射.

定义 1.6 ($(\infty ,1)$-算畴态射). 设 $({\mathcal{O}}^{\otimes },p)$ 和 $({\mathcal{O}}^{\prime \otimes },p^{\prime })$ 均为 $(\infty ,1)$-算畴. 则 $({\mathcal{O}}^{\otimes },p)$ 到 $({\mathcal{O}}^{\prime \otimes },p^{\prime })$ 的态射即为 $(\infty ,1)$-函子 $F:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathcal{O}}^{\prime \otimes }$, 使得 $p^{\prime }\circ F=p$, 且 $F$ 将惰性态射映到惰性态射.

2例子

•	设 $\mathcal{C}$ 为多元范畴, 记 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 为其全范畴, 则全范畴的构造自然诱导了函子 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$. 不难验证其满足定义中要求的性质. 特别地, 算畴可以看作诸 ${\mathcal{O}}_{⟨n⟩}^{\otimes }$ 都可缩的 $(\infty ,1)$-算畴.

•	${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 配备恒等函子是 $(\infty ,1)$-算畴, 记作 $\mathsf{Comm}$ 或 ${\mathbb{E}}_{\infty }$, 称为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$ 算畴. 事实上, 它就是将交换算畴视为 $(\infty ,1)$-算畴而得到的.

3模型结构

(...)

4相关概念

•	算畴
•	算畴代数

5参考文献

•	Jacob Lurie (2017). Higher Algebra. (pdf)

术语翻译

$(\infty ,1)$-算畴 • 英文 $(\infty ,1)$-operad • 法文 $(\infty ,1)$-opérade (f)