算畴

算畴是一种代数结构, 常用于描述其它代数结构. 具体来说, 算畴 $\mathcal{O}$ 由一系列集合 $\mathcal{O}(n)$ 组成, 其中 $n$ 是自然数. 集合 $\mathcal{O}(n)$ 是 $\mathcal{O}$ 所描述的代数结构中, 所有可能的 $n$ 元运算组成的集合. 例如:

•	结合算畴 $\mathsf{Assoc}$ 描述的代数结构是结合代数. 对自然数 $n$, 集合 $\mathsf{Assoc}(n)$ 是结合代数中所有将 $n$ 个元素相乘的方法的集合, 它有 $n!$ 个元素, 对应于 $n$ 个元素相乘的 $n!$ 种不同顺序.

•	交换算畴 $\mathsf{Comm}$ 描述交换代数, 每个集合 $\mathsf{Comm}(n)$ 都是单点集, 因为只有一种方法将 $n$ 个元素相乘, 而不取决于其顺序.

利用算畴的概念, 可以将各种代数结构的概念推广到任意的对称幺半范畴中. 研究这类结构的学科称为范畴代数.

在算畴中, 集合 $\mathcal{O}(n)$ 有时还带有其它结构, 例如拓扑空间或向量空间结构. 此时, 称该算畴为充实算畴, 即充实于拓扑空间范畴、向量空间范畴等的算畴.

算畴可视为只有一个对象的多元范畴, 后者有时也称为有色算畴, 或简称算畴.

在高阶范畴论中, 我们也考虑 $\infty$-范畴中的代数结构. 这些代数结构可以由 $(\infty ,1)$-算畴来描述.

1定义

普通算畴

定义 1.1 (算畴). 算畴 $\mathcal{O}$ 由下列信息组成:

•	对每个自然数 $n$, 有集合 $\mathcal{O}(n)$, 它带有置换群 ${\mathfrak{S}}_n$ 的右作用. 其元素有时称为 $\mathbf{n}$ 元运算.

•	有一个特殊元素 $1\in \mathcal{O}(1)$, 称为恒同运算.

•	对自然数 $n$ 及 $k_1,\dots ,k_n$, 有复合映射$$\begin{array}{rl}\circ :\mathcal{O}(n)\times \prod _{i=1}^n\mathcal{O}(k_i)& ⟶\mathcal{O}(k_1+\cdots +k_n),\\ (f,f_1,\dots ,f_n)& ⟼f\circ (f_1,\dots ,f_n).\end{array}$$

它们满足以下条件:

•	(单位律) 对任意自然数 $n$ 及 $f\in \mathcal{O}(n)$, 有$$1\circ (f)=f=f\circ (1,\dots ,1).$$

•

(结合律) 对自然数 $n$, $k_i$, ${\ell }_{i,j}$, 其中 $1\le i\le n$, $1\le j\le k_i$, 以及$$h\in \mathcal{O}(n),g_i\in \mathcal{O}(k_i),f_{i,j}\in \mathcal{O}({\ell }_{i,j}),$$有$$\begin{array}{rl}& (h\circ (g_1,\dots ,g_n))\circ (f_{1,1},\dots ,f_{1,k_1},\dots ,f_{n,1},\dots ,f_{n,k_n})\\ & =h\circ (g_1\circ (f_{1,1},\dots ,f_{1,k_1}),\dots ,g_n\circ (f_{n,1},\dots ,f_{n,k_n})).\end{array}$$

•	复合映射与置换的作用相容: 对自然数 $n$ 及 $k_1,\dots ,k_n$, 以及 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$, $f\in \mathcal{O}(n)$, 及 $f_i\in \mathcal{O}(k_i)$, 有$$(f\cdot \sigma )\circ (f_1,\dots ,f_n)=f\circ (f_{\sigma (1)},\dots ,f_{\sigma (n)}).$$

直观上说, 上述定义中的信息可以如下理解. 给定 $n$ 元运算 $f$, 及 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$, 后者作用于 $f$ 得到 $n$ 元运算$$(f\cdot \sigma )(x_1,\dots ,x_n)=f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}).$$复合映射 $\circ$ 可以想象为, 给定 $n$ 元运算 $f$, 及 $k_i$ 元运算 $f_i$, 得到复合$$\begin{array}{rl}& (f\circ (f_1,\dots ,f_n))(x_{1,1},\dots ,x_{1,k_1},\dots ,x_{n,1},\dots ,x_{n,k_n})\\ & =f(f_1(x_{1,1},\dots ,x_{1,k_1}),\dots ,f_n(x_{n,1},\dots ,x_{n,k_n})).\end{array}$$这里的 $x_i$ 及 $x_{i,j}$ 并非真正的元素, 只是辅助我们理解.

充实算畴

2例子

3相关概念

•	$(\infty ,1)$-算畴

术语翻译

算畴 • 英文 operad • 法文 opérade (f)