加性范畴

加性范畴大体上指对象和映射都能做加法的范畴.

1定义

定义 1.1 (预加性范畴). 称 Abel 群充实范畴为预加性范畴. 也就是说, 预加性范畴是范畴 $\mathcal{C}$, 以及对任意 $c,d$ 赋予的 $\mathcal{C}(c,d)$ 上的 Abel 群结构, 满足复合$$\mathcal{C}(c,d)\times \mathcal{C}(d,e)\to \mathcal{C}(c,e)$$双线性.

注 1.2. 有些资料要求预加性范畴具有零对象.

例 1.3. 不一定拥有零对象的预加性范畴是 “环胚”: 环是仅含一个对象的预加性范畴.

由定义, 对 $c,d\in \mathcal{C}$, $\mathcal{C}(c,0)=\mathcal{C}(0,d)=0$, 即零群. 因此, Abel 群 $\mathcal{C}(c,d)$ 的零元就是复合映射 $c\to 0\to d$. 将其称为零映射, 记作 $0$

在预加性范畴中, 有限积与有限余积自然同构, 即如果其中一者存在, 那么它自然地是另一者. 见 2.1 以及 双积.

定义 1.4 (加性范畴). 称具有有限双积的预加性范畴为加性范畴. 也就是说, 如预加性范畴 $\mathcal{C}$ 具有零对象, 且对任意 $c,d\in \mathcal{C}$, 都有积 $c\times d$ 和 余积 $c\bigsqcup d$, 就称 $\mathcal{C}$ 为加性范畴.

预加性范畴之间可以定义保持结构的函子以及子范畴.

定义 1.5 (加性函子). 预加性范畴之间的函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 称为加性函子, 指它是 Abel 群充实函子. 称一子范畴为预加性子范畴, 指其本身预加性, 且含入函子为加性函子. 称一子范畴为加性子范畴, 指其本身加性, 且含入函子为加性函子.

加性函子保持有限双积, 因此它也是加性范畴的保持结构的函子.

2性质

对预加性范畴, 其加性实则只需验证半边存在性:

命题 2.1. $\mathcal{C}$ 是预加性范畴. 则 $\mathcal{C}$ 中有限积与有限余积自然同构, 即如果其中一者存在, 那么它自然地是另一者.

证明. 显然只需证零元和二元情形. 实际上这基本上是范畴 $\mathsf{Ab}$ 的性质以及 Yoneda 引理的推论.

先证零元情形. 以 $\ast$ 记终对象, 要证它是始对象. 这只需注意到 Yoneda 函子 $h_{\ast }$ 为常函子 $0$, 从而对任意 $c\in \mathcal{C}$, $$\mathcal{C}(\ast ,c)={\mathsf{Set}}^{{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}}(h_{\ast },h_c)=0.$$

再证二元情形. 对 $c,d\in \mathcal{C}$, 以 $c\times d$ 记其积, 要证它是余积. 这只需注意到 $h_{c\times d}=h_c\times h_d=h_c\oplus h_d$, 从而对任意 $e\in \mathcal{C}$, $$\mathcal{C}(c\times d,e)={\mathsf{Set}}^{{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}}(h_c\oplus h_d,h_e)={\mathsf{Set}}^{{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}}(h_c,h_e)\oplus {\mathsf{Set}}^{{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}}(h_d,h_e)=\mathcal{C}(c,e)\oplus \mathcal{C}(d,e).$$

$\square$

从定义可以看出, 预加性范畴是附加于范畴之上的结构 (即 Abel 群充实范畴结构), 而不是范畴本身的性质. 奇妙的是, 一个范畴是不是加性范畴, 就是其本身的性质, 而不是附加结构了.

命题 2.2. 范畴 $\mathcal{C}$ 是加性范畴当且仅当:

•	$\mathcal{C}$ 有零对象 $0$. 这样对 $c,d\in \mathcal{C}$, $\mathcal{C}(c,d)$ 中便有零映射 $0:c\to 0\to d$, 使之成为带点集合.
•	对任意 $c,d\in \mathcal{C}$, 都有积 $c\times d$, 余积 $c\bigsqcup d$, 且映射$$(\mathrm{id},0,0,\mathrm{id})\in \mathcal{C}(c,c)\times \mathcal{C}(c,d)\times \mathcal{C}(d,c)\times \mathcal{C}(d,d)=\mathcal{C}(c\bigsqcup d,c\times d)$$是同构. 将 $c\bigsqcup d\cong c\times d$ 记作 $c\oplus d$. 于是对 $f,g\in \mathcal{C}(c,d)$ 可定义 $f+g$ 为映射复合$$c\stackrel{(\mathrm{id},\mathrm{id})}{\to }c\times c\cong c\oplus c\stackrel{f\oplus g}{\to }d\oplus d\cong d\bigsqcup d\stackrel{(\mathrm{id},\mathrm{id})}{\to }d$$使 $\mathcal{C}(c,d)$ 成为交换幺半群.
•	以上交换幺半群都是群.

所以加性范畴之间的函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 只要保持零对象和直和, 就是加性的.

3相关概念

•	Abel 范畴
•	充实范畴

术语翻译

预加性范畴 • 英文 preadditive category • 法文 catégorie préadditive

加性范畴 • 英文 additive category • 法文 catégorie additive

加性函子 • 英文 additive functor • 法文 founteur additif