等子

在范畴论中, 等子 (或左等子) 是一种万有构造, 是核的推广. 在某个范畴中, 给定图表$$XY\text{ ,}fg$$则大致来说, 态射 $f,g$ 的等子是指 $X$ 中被 $f,g$ 映到相同元素的部分. 若将 $X,Y$ 视为集合或空间, 则 $f,g$ 的等子大致能写成$$E=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.$$例如, 态射的核就是该态射与零态射的等子.

等子的对偶是余等子.

1定义

定义 1.1. 在范畴 $\mathcal{C}$ 中, 给定图表$$XY\text{ .}fg$$若该图表存在极限, 则该极限称为 $f,g$ 的等子.

具体来说, $f,g$ 的等子是 $\mathcal{C}$ 中对象 $E$, 带有态射 $e:E\to X$, 从而有图表$$EXY\text{ ,}efg$$使得 $f\circ e=g\circ e$. 并且, 对于任意对象 $E^{\prime }$ 及任意态射 $e^{\prime }:E^{\prime }\to X$, 考虑图表$$E^{\prime }XY\text{ ,}{e}^{\prime }fg$$若 $f\circ e^{\prime }=g\circ e^{\prime }$, 那么存在唯一态射 $h:E^{\prime }\to E$, 使得 $e^{\prime }=e\circ h$, 即有交换图$$E^{\prime }EXY\text{ .}h{e}^{\prime }efg$$

2例子

沿用上述记号.

•	若 $f=g$, 则 $f,g$ 的等子就是 $X$ 自身.

•	若 $\mathcal{C}$ 中具有零对象, 且 $g$ 是零态射, 则 $f,g$ 的等子就是 $f$ 的核.

3性质

•	等子可以写成如下拉回: $$EXYY\times Ye┌f\times g\Delta$$其中 $\Delta$ 是对角态射.

4相关概念

术语翻译

等子 • 英文 equalizer • 德文 Differenzkern (m) • 法文 égaliseur (m)