纤维积范畴

注意区分本文与 “纤维范畴”.

纤维积范畴是范畴论中的一种构造, 大致是范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的拉回, 严格而言是 $2$-拉回. 具体来说, 给定范畴 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$、$\mathcal{E}$ 及函子 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{E}$, $g:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$, 其纤维积范畴 $\mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$ 满足 “拉回图表”$$\mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}\mathcal{C}\mathcal{D}\mathcal{E}\text{ .}┌fg$$具体写下来, $\mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$ 的对象是形如$$(x,y,a):x\in \mathcal{C},y\in \mathcal{D},a:f(x)\simeq g(y)$$的三元组. 这与逗号范畴的构造类似, 但这里要求 $a$ 是同构, 而逗号范畴中不要求.

1定义

定义 1.1 (纤维积范畴). 设有范畴 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$、$\mathcal{E}$, 及函子 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{E}$, $g:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$. 则其纤维积范畴 $\mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$ 定义为范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 中相应的 $2$-拉回.

具体来说, $\mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$ 是如下定义的范畴:

•	对象: 形如 $(x,y,a)$ 的三元组, 其中 $x\in \mathcal{C}$, $y\in \mathcal{D}$, 且 $a:f(x)\simeq g(y)$ 是 $\mathcal{E}$ 中的同构.

•	从 $(x,y,a)$ 到 $(x^{\prime },y^{\prime },a^{\prime })$ 的态射是二元组 $(c,d)$, 其中 $c\in \mathcal{C}(x,x^{\prime })$, $d\in \mathcal{D}(y,y^{\prime })$, 使得 $\mathcal{E}$ 中的图表$$f(x)g(y)f(x^{\prime })g(y^{\prime })f(c)ag(d)a^{\prime }$$交换.

2例子

•	当 $\mathcal{E}=\ast$ 为单点范畴时, 纤维积范畴 $\mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$ 就是积范畴 $\mathcal{C}\times \mathcal{D}$.

3相关概念

术语翻译

纤维积范畴 • 英文 fibre product category • 美式英文 fiber product category