算畴代数

算畴代数是利用算畴或多元范畴描述的代数结构, 它给出了一般的代数结构在任意对称幺半范畴中的推广, 其中算畴描述了此代数结构上的多元运算. 例如,

•	结合算畴 $\text{Assoc}$ 的算畴代数即为结合代数,

•	交换算畴 $\text{Comm}$ 的算畴代数即为交换代数.

1定义

定义 1.1 (算畴代数). 设 $\mathcal{O}$ 为算畴, $\mathcal{C}$ 为对称幺半范畴. $\mathcal{C}$ 中的 $\mathcal{O}$-代数由以下信息构成:

•	对象 $X\in \mathcal{C}$.

•	对任意自然数 $n$, 任意 $n$ 元运算 $f\in \mathcal{O}(n)$, 有 $\mathcal{C}$ 中的映射 $X(f):X^{\otimes n}\to X$.

•	$X(1)={\mathrm{id}}_X$, 且 $X(f)$ 与 $\mathcal{O}$ 中的复合运算 $\circ$ 相容.

若将算畴换成多元范畴, 有同样的描述:

定义 1.2 (多元范畴代数). 设 $\mathcal{O}$ 为多元范畴, $\mathcal{C}$ 为对称幺半范畴. $\mathcal{C}$ 中的 $\mathcal{O}$-代数 $F$ 由以下信息构成:

•	对 $\mathcal{O}$ 中任意对象 $X$, 有对象 $F(X)\in \mathcal{C}$.

•	对 $\mathcal{O}$ 中任意有限族对象 $(X_i{)}_{i\in I}$, 任意对象 $Y$, 及 $f\in \mathcal{O}((X_i{)}_{i\in I},Y)$, 有 $F(f):{⨂}_{i\in I}{X}_i\to Y$.

•	$F(1_X)={\mathrm{id}}_{F(X)}$, 且 $F(f)$ 与 $\mathcal{O}$ 中的复合运算相容.

利用多元范畴函子的概念, 可以将上述定义简化如下:

定义 1.3 (多元范畴代数). 设 $\mathcal{O}$ 为多元范畴, $\mathcal{C}$ 为对称幺半范畴. 将 $\mathcal{C}$ 视为多元范畴, 其中多元运算由下式给出: $$\mathcal{C}((X_i{)}_{i\in I},Y)=\mathcal{C}(\underset{i\in I}{⨂}{X}_i,Y).$$$\mathcal{C}$ 中的 $\mathcal{O}$-代数 $F$ 即为 $\mathcal{O}$ 到 $\mathcal{C}$ 的多元范畴函子.

在多元范畴中只有一个对象时, 上述定义也给出了算畴代数的等价定义.

定义 1.4. 设 $\mathcal{O}$ 为算畴或多元范畴, $\mathcal{C}$ 为对称幺半范畴. 则 $\mathcal{C}$ 中的 $\mathcal{O}$-代数间可以自然地定义态射, 从而所有 $\mathcal{O}$-代数构成范畴 $\mathcal{O}\text{-}\mathsf{Alg}(\mathcal{C})$.

在定义 1.3 意义下, 此范畴也就是多元函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C})$.

2例子

设 $\mathcal{C}$ 为对称幺半范畴.

•	$\mathsf{Comm}\text{-}\mathsf{Alg}(\mathcal{C})$ 等价于 $\mathcal{C}$ 中的交换幺半对象的范畴. 若 $F\in \mathsf{Comm}\text{-}\mathsf{Alg}(\mathcal{C})$, 则 $F(\ast )\in \mathcal{C}$ 即为对应的幺半对象, $F(()\to \ast ),F((\ast ,\ast )\to \ast )$ 给出了幺半对象的单位与乘法.

•	类似地, $\mathsf{Assoc}\text{-}\mathsf{Alg}(\mathcal{C})$ 等价于 $\mathcal{C}$ 中的幺半对象的范畴. $\mathsf{Assoc}((\ast {)}_{i\in I},\ast )$ 给出了其上所有 $|I|!$ 种不同顺序的乘法.

•	$\mathsf{Triv}\text{-}\mathsf{Alg}(\mathcal{C})$ 范畴等价于 $\mathcal{C}$.

3相关概念

•	$(\infty ,1)$-算畴
•	$(\infty ,1)$-算畴代数