预层

预层赋予几何对象以代数结构. 例如, 对拓扑空间 $X$ 而言, 预层 $\mathcal{F}$ 给每个开集 $U\subset X$ 赋予一个集合 $\mathcal{F}(U)$, 作为抽象的 “$U$ 上所有函数的集合”. 例如, $\mathcal{F}(U)$ 可以是所有 $U\to \mathbb{R}$ 的函数的集合. 若两个开集互相包含: $U\subset V$, 则 $V$ 上的函数可以限制在 $U$ 上, 得到小开集上的函数, 从而有限制映射 $\mathcal{F}(V)\to \mathcal{F}(U)$. 这样的结构就称为预层.

如果一个预层还满足层公理, 即每个函数由它局部上的取值决定, 那么这个预层就叫做一个层.

1定义

拓扑空间上的预层

定义 1.1 (预层). 设 $X$ 是拓扑空间, $\mathcal{D}$ 是范畴. 则 $X$ 上取值于 $\mathcal{D}$ 的预层 $\mathcal{F}$ 由以下信息组成:

•	对每个开集 $U\subset X$, 有一个对象$$\mathcal{F}(U)\in \mathcal{D},$$称为 $U$ 上 $\mathcal{F}$ 的所有截面构成的空间.
•	对任两个开集 $U\subset V\subset X$, 有一个 $\mathcal{D}$ 中的态射$${\mathrm{res}}_U^V:\mathcal{F}(V)\to \mathcal{F}(U),$$称为限制映射. 这个映射通常也记为 $(-){|}_U$. 限制映射还满足如下函子性要求: ∘ ${\mathrm{res}}_U^U=1_{\mathcal{F}(U)}$. ∘ 对于任意满足 $U\subset V\subset W$ 的开集, 都有 ${\mathrm{res}}_U^W={\mathrm{res}}_U^V\circ {\mathrm{res}}_V^W$.

当 $\mathcal{D}=\mathsf{Set}$ 为集合范畴时, 通常称 $\mathcal{F}$ 为集合预层; 当 $\mathcal{D}=\mathsf{Ab}$ 为 Abel 群范畴时, 通常称 $\mathcal{F}$ 为 Abel 预层, 以此类推.

例 1.2. 设 $X,Y$ 是两个拓扑空间. 对每个开集 $U\subset X$, 定义$$\mathcal{F}(U)=\mathsf{Top}(U,Y)$$为 $U$ 到 $Y$ 的所有连续映射的集合. 则 $\mathcal{F}$ 是 $X$ 上的集合预层.

注 1.3. 定义范畴 $\mathsf{Open}(X)$ 如下: 其对象为 $X$ 的开集, 其态射为开集之间的含入映射. 则 $X$ 上的预层等同于 $\mathsf{Open}(X)$ 上的预层 (定义 1.4).

范畴上的预层

定义 1.4 (预层). 设 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$ 是范畴. 则 $\mathcal{C}$ 上取值于 $\mathcal{D}$ 的预层就是一个函子$$\mathcal{F}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D},$$也即 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的一个反变函子.

当 $\mathcal{D}=\mathsf{Set}$ 为集合范畴时, 通常称 $\mathcal{F}$ 为一个集合预层; 当 $\mathcal{D}=\mathsf{Ab}$ 为 Abel 群范畴时, 通常称 $\mathcal{F}$ 为一个 Abel 预层, 以此类推.

定义 1.5 (预层态射). 设 $\mathcal{F},\mathcal{G}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}$ 为 $\mathcal{C}$ 上两个取值于 $\mathcal{D}$ 的预层. 则 $\mathcal{F}$ 到 $\mathcal{G}$ 的态射就是 $\mathcal{F}$ 到 $\mathcal{G}$ 的自然变换.

定义 1.6 (预层范畴). 设 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$ 是范畴. 则 $\mathcal{C}$ 上所有取值于 $\mathcal{D}$ 的预层及其态射构成一范畴, 称为 $\mathcal{C}$ 上的 $\mathcal{D}$-预层范畴, 记为 $\mathsf{PSh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$.

事实上, 此范畴即是函子范畴 $\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathcal{D})$.

2性质

•	Abel 预层
•	可表预层
•	推出预层
•	拉回预层

3相关概念

•	层
•	单纯预层
•	无穷预层

术语翻译

预层 • 英文 presheaf • 德文 Prägarbe • 法文 préfaisceau • 拉丁文 praefascis