范畴等价

在范畴论中, 范畴等价是表达 “两个范畴看起来一样” 这一想法的正确概念. 在范畴论的意义下, 等价的范畴具有完全相同的性质, 正如在代数学中, 同构的代数结构具有完全相同的性质. 这是等价原理的一个例子.

范畴等价弱于范畴同构, 即不要求两范畴的对象、态射之间能够一一对应, 而只要求对于一个范畴中的对象、态射, 在另一范畴中能找到同构的对象、态射, 且反之亦然.

范畴等价是范畴的 $2$-范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的同构.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$ 为范畴, $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为函子. 称 $F$ 为范畴等价, 如果:

•	存在函子 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$, 以及函子间的自然同构$$G\circ F\simeq 1_{\mathcal{C}},F\circ G\simeq 1_{\mathcal{D}}.$$

此时, 也称范畴 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$ 等价, 称 $F$、$G$ 互为逆函子.

2例子

•	范畴同构都是范畴等价.

•	设范畴 $\mathcal{C}$ 只有一个对象 $x$, 且只有一个态射, 即恒同态射. 设范畴 $\mathcal{D}$ 有一族对象 $(y_i{)}_{i\in I}$, 其中 $I$ 非空, 且对任意 $i,j\in I$, 集合 $\mathcal{D}(y_i,y_j)$ 有且仅有一个元素. 则 $\mathcal{C}$ 等价于 $\mathcal{D}$, 因为 $\mathcal{D}$ 中所有对象都同构, 所以本质上是 “同一个” 对象.

•	记 $\mathsf{CRing}$ 为交换环的范畴, $\mathsf{AffSch}$ 为仿射概形的范畴. 则$$\mathrm{Spec}:{\mathsf{CRing}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{AffSch}\text{与}\mathcal{O}:\mathsf{AffSch}\to {\mathsf{CRing}}^{\mathrm{op}}$$互为逆函子, 这里 $\mathrm{Spec}$ 是取素谱, 而 $\mathcal{O}$ 将概形 $X$ 映到交换环 ${\mathcal{O}}_X(X)$.

3性质

下述性质常用于刻画范畴等价.

定理 3.1. 设 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$ 为范畴, $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为函子. 则下列命题等价.

•	$F$ 是范畴等价.

•	$F$ 全忠实、本质满.

4相关概念

术语翻译

范畴等价 • 英文 equivalence of categories • 德文 Äquivalenz von Kategorien (f) • 法文 équivalence de catégories (f) • 日文 圏同値 (けんどうち)

等价 (形容词) • 英文 equivalent • 德文 äquivalent • 法文 équivalent