对称幺半范畴

对称幺半范畴是张量积操作在同构意义下交换的幺半范畴.

1定义

显式定义

定义 1.1 (对称幺半范畴). 对称幺半范畴是三元组 $(\mathcal{C},\otimes ,s)$, 其中

•	$(\mathcal{C},\otimes )$ 是幺半范畴,
•	$s$ 是自然同构$$x\otimes y\simeq y\otimes x$$此同构满足六边形公理..., 且复合态射$$s_{y,x}\circ s_{x,y}:x\otimes y\to y\otimes x\to x\otimes y$$是恒等态射.

利用算畴

使用算畴可以得到对称幺半算畴更为典范的定义, 这种定义无需提及五边形公理和六边形公理.

首先回顾以下交换算畴相关的记号. 记 ${\mathsf{Comm}}^{\otimes }$ 为交换算畴的全范畴, 即带点有限集范畴 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$. 令 $[n]$ 表示集合 $\{1,\cdots ,n,\ast \}$, $p_{i,n}$ 表示其中的态射$$[n]\to [1],j\mapsto \{\begin{array}{ll}1& i=j\\ \ast & i\ne j.\end{array}$$

定义 1.2 (对称幺半算畴). 全对称幺半范畴是异纤维范畴 $p:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathsf{Comm}}^{\otimes }$. 满足以下前推函子之积: $$p_{1,n,\ast }\times \cdots \times p_{n,n,\ast }:p^{-1}([n])\to p^{-1}([1])\times \cdots \times p^{-1}([1])$$为范畴等价. 这里 $p^{-1}$ 表示对象的纤维.

对称幺半范畴是四元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}^{\otimes },p,q)$, 其中 $p:{\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathsf{Comm}}^{\otimes }$ 是全对称幺半范畴, $$q:\mathcal{C}\simeq p^{-1}([1])$$是范畴等价.

这种定义也可以自然的推广到 $\infty$-范畴论中, 成为对称幺半 $\infty$-范畴.

2性质

命题 2.1. 定义 1.1 和定义 1.2 等价.

(...)

3例子

(...)

4相关概念

•	对称幺半函子
•	对称幺半对象
•	对称幺半 $\infty$-范畴

术语翻译

对称幺半范畴 • 英文 symmetric monoidal category • 德文 symmetrische monoidale Kategorie • 法文 catégorie monoïdale symétrique • 拉丁文 categoria monoides symmetrica • 古希腊文 συμμέτρα μονοειδὴς κατηγορία