模型范畴

模型范畴是一类带额外结构的范畴, 是同伦代数中的基本概念. 大致来说, 模型范畴所具有的结构赋予该范畴类似拓扑空间范畴的性质, 例如可以谈论态射间的同伦、对象间的同伦等价等概念. 例如, 链复形的范畴就可以带上额外结构而成为模型范畴, 相应的同伦、同伦等价的概念就是链复形间的链同伦、链同伦等价等. 模型范畴的语言统一了代数拓扑、同调代数这两种相似的理论, 并将其应用于更多的情形, 这也就是同伦代数的基本想法.

在高阶范畴论的观点下, 模型范畴描述了弱等价范畴通过局部化而得到的 $(\infty ,1)$-范畴的性质. $(\infty ,1)$-范畴常常难以具体操作, 但如果知道它是某个模型范畴的局部化, 就能具体地计算其诸多性质.

1想法

模型范畴是指范畴 $\mathcal{C}$, 带有以下三类特殊的态射:

•	一类态射 $\mathsf{W}$, 称为弱等价, 是一种比同构更弱的等价的概念. 常见的例子是拓扑空间范畴中, 拓扑空间的同伦等价, 或弱同伦等价等, 也可以是链复形间的链同伦等价、拟同构等.

•	一类态射 $\mathsf{Cof}$, 称为余纤维化, 可以视为 “性质较好的单射”. 例如, 可以取拓扑空间的 Hurewicz 余纤维化.

•	一类态射 $\mathsf{Fib}$, 称为纤维化, 粗略地说, 可以想象为空间之间类似纤维丛的态射, 但仅要求同一连通分支上的纤维互相同伦等价, 而不要求同胚. 例如, 可以将这类态射取为拓扑空间的 Hurewicz 纤维化.

一个典型的例子是, 令 $\mathcal{C}=\mathsf{Top}$ 为拓扑空间范畴, 此时可以取:

•	$\mathsf{W}$ 为所有同伦等价.

•	$\mathsf{Cof}$ 为所有闭 Hurewicz 余纤维化.

•	$\mathsf{Fib}$ 为所有 Hurewicz 纤维化.

在模型范畴中, 上述关于余纤维化、纤维化直观印象是由态射的提升性质来具体描述的. 大致来说, 给定 $\mathcal{C}$ 中的实线图表$$AXBY\text{,}ip$$若存在虚线箭头使得整个图表交换, 就称 $i$ 关于 $p$ 具有提升性质 (详见定义 2.1). 例如, 为刻画 $p$ 是纤维化这一性质, 就可以要求对某类态射 $i$, 上述图表存在提升. 若令 $i$ 为所有形如 $A\times \{0\}\hookrightarrow A\times [0,1]$ 的映射, 得到的概念就是 Hurewicz 纤维化.

在模型范畴中, 余纤维化、纤维化的结构由以下两个提升性质刻画:

•	若 $i\in \mathsf{Cof}\cap \mathsf{W}$, 且 $p\in \mathsf{Fib}$, 则上述图表存在提升.

•	若 $i\in \mathsf{Cof}$, 且 $p\in \mathsf{Fib}\cap \mathsf{W}$, 则上述图表存在提升.

2定义

定义 2.1 (提升性质). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $J\subset \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$ 是一类态射.

•	称 $\mathcal{C}$ 中态射 $p:X\to Y$ 对 $J$ 具有右提升性质, 如果对 $\mathcal{C}$ 中任意实线图表$$AXBY\text{,}p$$其中态射 $A\to B$ 在 $J$ 中, 存在虚线箭头使图表交换. 所有具有此性质的态射 $p$ 构成的类记为 $\mathrm{RLP}(J)$.

•	称 $\mathcal{C}$ 中态射 $i:A\to B$ 对 $J$ 具有左提升性质, 如果对 $\mathcal{C}$ 中任意实线图表$$AXBY\text{,}i$$其中态射 $X\to Y$ 在 $J$ 中, 存在虚线箭头使图表交换. 所有具有此性质的态射 $i$ 构成的类记为 $\mathrm{LLP}(J)$.

定义 2.2 (弱分解系). 弱分解系是三元组 $(\mathcal{C},\mathsf{L},\mathsf{R})$, 其中 $\mathcal{C}$ 是范畴, $\mathsf{L},\mathsf{R}\subset \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$ 是两类态射, 使得

•	$\mathsf{L}=\mathrm{LLP}(\mathsf{R})$ 且 $\mathsf{R}=\mathrm{RLP}(\mathsf{L})$.

•	$\mathcal{C}$ 中每个态射 $f:A\to B$ 都能分解为$$A\stackrel{l}{\to }X\stackrel{r}{\to }B,$$其中 $l\in \mathsf{L}$ 且 $r\in \mathsf{R}$. 并且, 这样的分解关于 $f$ 具有函子性.

若 $(\mathcal{C},\mathsf{L},\mathsf{R})$ 是弱分解系, 则从定义不难得出以下性质.

•	$\mathsf{L}$ 和 $\mathsf{R}$ 均包含 $\mathcal{C}$ 中所有同构.

•	$\mathsf{L}$ 和 $\mathsf{R}$ 均关于态射复合封闭.

•	$\mathsf{L}$ 关于推出封闭, $\mathsf{R}$ 关于拉回封闭.

定义 2.3. 模型范畴是四元组 $(\mathcal{C},\mathsf{W},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib})$, 其中 $\mathcal{C}$ 是范畴, $\mathsf{W},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib}\subset \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$ 是三类态射, 满足以下条件:

•	$\mathcal{C}$ 完备、余完备, 也就是具有所有小极限、小余极限.

•	$(\mathcal{C},\mathsf{W})$ 是弱等价范畴.

•	$(\mathcal{C},\mathsf{Cof}\cap \mathsf{W},\mathsf{Fib})$ 是弱分解系.

•	$(\mathcal{C},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib}\cap \mathsf{W})$ 是弱分解系.

此时, 也说这三类态射定义了 $\mathcal{C}$ 上的模型结构.

我们引入以下术语:

•	$\mathsf{W}$ 中态射称为弱等价.

•	$\mathsf{Cof}$ 中态射称为余纤维化.

•	$\mathsf{Fib}$ 中态射称为纤维化.

•	$\mathsf{Cof}\cap \mathsf{W}$ 中态射称为平凡余纤维化.

•	$\mathsf{Fib}\cap \mathsf{W}$ 中态射称为平凡纤维化.

•	称对象 $X\in \mathcal{C}$ 为余纤维性对象, 如果 $\varnothing \to X$ 是余纤维化, 其中 $\varnothing$ 是 $\mathcal{C}$ 的始对象. 这里, 始对象存在, 因为 $\mathcal{C}$ 余完备.

•	称对象 $X\in \mathcal{C}$ 为纤维性对象, 如果 $X\to \ast$ 是纤维化, 其中 $\ast$ 是 $\mathcal{C}$ 的终对象. 这里, 终对象存在, 因为 $\mathcal{C}$ 完备.

注意到, 若给定弱等价范畴 $(\mathcal{C},\mathsf{W})$, 则 $\mathsf{Cof}$ 和 $\mathsf{Fib}$ 两者中, 任一个都能确定另一个, 因为弱分解系的两类态射能互相确定.

另外, 注意到余纤维化、平凡余纤维化都关于推出封闭, 而纤维化、平凡纤维化都关于拉回封闭.

3例子

4相关概念

术语翻译

模型范畴 • 英文 model category • 德文 Modellkategorie (f) • 法文 catégorie de modèles (f) • 日文 モデル圏

模型结构 • 英文 model structure • 德文 Modellkategoriestruktur (f) • 法文 structure de catégorie de modèles (f)