完备 Segal 空间

在高阶范畴论中, 完备 Segal 空间是 $(\infty ,1)$-范畴的一种模型, 即定义 $(\infty ,1)$-范畴的一种方式. 完备 Segal 空间是一类具有良好性质的 Segal 空间.

具体而言, 对 Segal 空间 $X$, 它看起来像是 $(\infty ,1)$-范畴, 并带有一层冗余的信息, 即所有 $n$-态射不仅构成集合, 还构成空间, 即 Kan 复形 $X_n$. 而 $(\infty ,1)$-范畴本身已经具备足够的信息, 以告诉我们应该如何将 $n$-态射的集合视为空间. 当这些信息与 Segal 空间的结构所提供的信息一致时, 该 Segal 空间就是完备 Segal 空间, 它与 $(\infty ,1)$-范畴含有同样的信息, 故可用于定义 $(\infty ,1)$-范畴.

需要注意的是, 使用完备 Segal 空间来定义 $(\infty ,1)$-范畴时, 并不能直接使用 Segal 空间的同构来描述 $(\infty ,1)$-范畴的范畴等价, 因为后者更弱, 正如普通范畴间的范畴等价弱于范畴同构. 该现象可以通过模型范畴的理论来准确地描述, 也就是说, $(\infty ,1)$-范畴的等价是完备 Segal 空间的模型范畴中的弱等价.

完备 Segal 空间可以推广为 $n$ 重完备 Segal 空间, 以定义 $(\infty ,n)$-范畴.

1定义

定义 1.1. 设 $X$ 是 Segal 空间.

•

$X$ 的同伦范畴是以下定义的范畴 $\mathsf{Ho}(X)$: ∘ 其对象为 $X_0$ 的顶点, 即 $(X_0{)}_0$ 的元素. ∘ 对 $x,y\in (X_0{)}_0$, 其间的态射集为$$\mathsf{Ho}(X)(x,y)={\pi }_0((X_1{)}_{x,y}),$$这里 $(X_1{)}_{x,y}$ 是映射 $(d_1,d_0):X_1\to X_0\times X_0$ 于 $(x,y)$ 处的同伦纤维. 注意到该映射由 $\mathbb{\Delta }$ 中的态射 $0,1:[0]\to [1]$ 诱导. ∘ 态射复合由映射$$(X_1{)}_{x,y}\times (X_1{)}_{y,z}\simeq (X_2{)}_{x,y,z}\stackrel{d_1}{\to }(X_1{)}_{x,z}$$给出. 这里 $(X_2{)}_{x,y,z}$ 是映射 $X_2\to X_0\times X_0\times X_0$ 于 $(x,y,z)$ 的同伦纤维, 该映射由 $\mathbb{\Delta }$ 中的态射 $0,1,2:[0]\to [2]$ 诱导. 左边的同伦等价是由 Segal 空间的公理.

•	称 $f\in X_1$ 为同伦等价, 如果它对应于 $\mathsf{Ho}(X)$ 中的同构.

•	定义 $X_{\simeq }\subset X_1$ 为所有同伦等价构成的子 Kan 复形. 这是 $X_1$ 的一些连通分支构成的子 Kan 复形.

•	称 $X$ 为完备 Segal 空间, 如果退化映射$$s_0:X_0⟶X_{\simeq }$$是 Kan 复形的同伦等价.

以上定义可见于 [Rezk 2001].

2例子

•

设 $\mathcal{C}$ 是小范畴. ∘ 设 $X=\mathfrak{N}(\mathcal{C})$ 是 $\mathcal{C}$ 的脉, 将其视为单纯 Kan 复形, 也就是将各集合 $X_n$ 视为离散的 Kan 复形. 由脉的定义, 知 $X$ 是 Segal 空间. 然而, $\mathfrak{N}(\mathcal{C})$ 一般不是完备 Segal 空间. 这是因为, $X_0$ 与 “$\mathcal{C}$ 中对象构成的空间” 不同, 在后者中, 同构的对象需要视为空间中的同一个点. 例如, 若有两个同构但不相等的对象, 则它们在 $X_0$ 中是分散的点, 这就破坏了完备性. 为了将 $\mathcal{C}$ 视为完备 Segal 空间, 可以使用以下构造: ∘ 定义 Segal 空间 $X$ 如下: 令$$X_n=\mathfrak{N}(\mathsf{Fun}(\Delta [n],\mathcal{C}{)}^{\simeq }),$$其中 $(-{)}^{\simeq }$ 表示范畴中的极大群胚, 范畴 $\Delta [n]$ 如图表$$0\to 1\to \cdots \to n$$所示. 则这里的 $X$ 是完备 Segal 空间.

3性质

模型范畴结构

4参考文献

•	Charles Rezk (2001). “A model for the homotopy theory of homotopy theory”. Trans. Am. Math. Soc. 353 (3), 973–1007. arXiv: math/9811037 [math.AT]. (doi) (zbMATH)

5相关概念

术语翻译

完备 Segal 空间 • 英文 complete Segal space • 法文 espace de Segal complet (m)