n-范畴

$\mathbf{n}$-范畴是范畴、$2$-范畴等概念向更高同伦层级的推广, 是 $\infty$-范畴的特例, 这里 $n$ 是自然数. 大致来说, $n$-范畴由以下信息组成:

•

一族对象.

•	在对象 $x,y$ 之间, 可以有 $1$-态射 $f:x\to y$.

•	在 $1$-态射 $f,g:x\to y$ 之间, 可以有 $2$-态射 $\alpha :f\Rightarrow g$.

$$xyfg\Downarrow \alpha$$

•	在 $2$-态射 $\alpha ,\beta :f\Rightarrow g$ 之间, 可以有 $3$-态射 $\xi :\alpha \Rrightarrow \beta$.

$$xyfg⟹\alpha ⟹\beta \Rrightarrow \xi$$

•	如此下去, 直到 $n$-态射.

例如,

•	$0$-范畴就是集合.

•	$1$-范畴就是普通的范畴.

•	$2$-范畴也是有用的概念.

在文献中, “$n$-范畴” 有时也特指 $(n,1)$-范畴, 即所有 $r$-态射当 $r>1$ 时都可逆的 $n$-范畴. 我们不采用这种约定.

1定义

$1$-范畴和 $2$-范畴都具有公认的较为简洁的定义. 然而当 $n>2$ 时, $n$-范畴的定义变得十分复杂. 一个主要问题是, 正如在 $2$-范畴中一样, 在 $n$ 范畴中, $1$-态射的复合并不严格满足结合律、单位律, 而相差一个可逆 $2$-态射, 即 $2$-同构, 例如$$h\circ (g\circ f)\simeq (h\circ g)\circ f.$$上述同构还需满足各维结合多面体所指定的公理, 以及其它繁复的公理. 当 $n>4$ 时, 完整写下所有这些公理并不可行. 因此, 通常的做法是借助 $(\infty ,n)$-范畴来定义 $n$-范畴.

尽管如此, 但有一类较好定义的 $n$-范畴, 称为严格 $\mathbf{n}$-范畴, 也就是那些复合严格满足结合律、单位律的 $n$-范畴. 但当 $n>2$ 时, 并非所有 $n$-范畴都等价于某个严格 $n$-范畴, 所以该定义是不全面的. 我们先叙述这种不全面的定义.

严格 $n$-范畴

定义 1.1 (严格 $n$-范畴). 我们对 $n$ 归纳, 定义严格 $n$-范畴的概念.

严格 $1$-范畴就是普通的范畴.

假设有了严格 $(n-1)$-范畴的概念. 则严格 $\mathbf{n}$-范畴是指一充实范畴, 充实于所有小的严格 $(n-1)$-范畴构成的范畴, 配以积幺半结构.

$(n,1)$-范畴

我们通过 $(\infty ,1)$-范畴来定义 $(n,1)$-范畴.

定义 1.2 ($(n,1)$-范畴). 称 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 为 $(\mathbf{n},1)$-范畴, 如果满足以下条件:

•	对任意 $x,y\in \mathcal{C}$, 态射空间 $\mathcal{C}(x,y)$ 都是 $(n-1)$-截断空间, 即 $(n-1)$-群胚.

一般的 $n$-范畴

2相关概念

•	$n$-群胚
•	$(\infty ,n)$-范畴

术语翻译

$n$-范畴 • 英文 $n$-category • 法文 $n$-catégorie (f)