2-范畴

$2$-范畴是范畴的一种推广, 是 $n$-范畴当 $n=2$ 时的特例. 大致地说, $2$-范畴由以下部分构成:

•

一族对象.

•	在对象 $x,y$ 之间, 可以有 $1$-态射 $f:x\to y$.

•	在 $1$-态射 $f,g:x\to y$ 之间, 可以有 $2$-态射 $\alpha :f\Rightarrow g$.

$$xyfg\Downarrow \alpha$$

换言之, $2$-范畴就是普通范畴加上一些 $2$-态射.

$2$-范畴的一个典型例子是范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$. 其对象为所有小范畴, $1$-态射为这些范畴间的函子, 而 $2$-态射为函子之间的自然变换.

在 $2$-范畴中, $1$-态射所满足的公理, 例如态射复合的结合律, 并不严格成立, 而是在相差一个 $2$-同构 (即可逆 $2$-态射) 的意义下成立. 这正如在普通范畴中, 通常不谈论对象的相等关系, 而谈论它们的同构关系. 又例如, 在 $2$-范畴 $\mathsf{Cat}$ 中, 我们已经熟知, 可逆函子与其逆的复合只是自然同构 (即 $2$-同构) 于恒等函子, 而非严格相等. 这些看似琐碎的区别正是 $2$-范畴的有趣之处.

$2$-范畴之间的函子称为 $2$-函子. 与上面类似, $2$-函子所满足的公理, 例如保持态射复合, 也只在相差 $2$-同构的意义下成立.

这里提到的 $2$-范畴也称为 $(2,2)$-范畴, 是 $(n,r)$-范畴当 $n=r=2$ 时的特例. 若 $2$-范畴中所有 $2$-态射都可逆, 则称为 $(2,1)$-范畴.

$2$-范畴可以视为幺半范畴的胚化, 正如范畴是幺半群的胚化. 在以下定义 1.2 中可见 $2$-范畴与幺半范畴定义的相似性.

1定义

严格 $2$-范畴

严格 $2$-范畴是指 $1$-态射的运算律都严格成立, 而非在相差 $2$-同构的意义下成立的 $2$-范畴. 这类特殊的 $2$-范畴可以简短地定义如下.

定义 1.1 (严格 $2$-范畴). 严格 $2$-范畴是充实于严格范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 的充实范畴.

换言之, 在严格 $2$-范畴 $\mathcal{C}$ 中, 对任何两个对象 $x,y\in \mathcal{C}$, 都有一个 “态射范畴” $\mathcal{C}(x,y)$, 并且 $\mathcal{C}$ 中的态射复合满足严格意义的单位律、结合律. 这意味着我们需要谈论这些态射范畴之间函子的严格相等, 而这其实是不太自然的.

虽然如此, 但可以证明, 任何一般的 $2$-范畴都等价于某个严格 $2$-范畴. 因此, 采用严格 $2$-范畴作为 $2$-范畴的定义并不会损失一般性, 只是较不自然. 这种不自然也体现于, 当 $n>2$ 时, 就能找到不等价于任何严格 $n$-范畴的 $n$-范畴.

一般的 $2$-范畴

定义 1.2 ($2$-范畴). $2$-范畴 $\mathcal{C}$ 由以下信息组成:

•	一个类 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 其元素称为 $\mathcal{C}$ 的对象.

•	对任何 $x,y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个小范畴 $\mathcal{C}(x,y)$, 其中的对象称为 $\mathcal{C}$ 的 $1$-态射, 其中的态射称为 $\mathcal{C}$ 的 $2$-态射.

•	对每个 $x\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个对象 $1_x\in \mathcal{C}(x,x)$, 称为恒同态射.

•	对任何 $x,y,z\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个函子 $\circ :\mathcal{C}(y,z)\times \mathcal{C}(x,y)\to \mathcal{C}(x,z)$, 称为复合, 或横向复合, 以与每个 $\mathcal{C}(x,y)$ 自己的态射复合 (称为纵向复合) 区分.

•	对任何 $x,y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有两个自然同构$$\mathcal{C}(x,y)\mathcal{C}(x,y)\text{ ,}{1}_y\circ -\mathrm{id}\stackrel{l_{x,y}}{⟹}\mathcal{C}(x,y)\mathcal{C}(x,y)\text{ ,}-\circ 1_x\mathrm{id}\stackrel{r_{x,y}}{⟹}$$分别称为左、右单位子.

•

对任何 $x,y,z,w\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个自然同构$$\mathcal{C}(z,w)\times \mathcal{C}(y,z)\times \mathcal{C}(x,y)\mathcal{C}(z,w)\times \mathcal{C}(x,z)\mathcal{C}(y,w)\times \mathcal{C}(x,y)\mathcal{C}(x,w)\text{ ,}\circ \times \mathcal{C}(x,y)\mathcal{C}(z,w)\times \circ \circ \circ ⟹a_{x,y,z,w}$$称为结合子.

它们满足以下条件:

•	(三角形公理) 对任何 $x,y,z\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 及 $f\in \mathcal{C}(x,y)$, $g\in \mathcal{C}(y,z)$, 有 $\mathcal{C}(x,z)$ 中的交换图$$(g\circ 1_y)\circ fg\circ (1_y\circ f)g\circ f\text{ ,}{a}_{g,1_y,f}{r}_g\circ fg\circ l_f$$其中, 为记号简便, 我们忽略了自然同构 $a,l,r$ 的关于 $x,y,z$ 的下标, 而其中出现的下标是指自然同构的分量.

•

(五边形公理) 对任意 $x,y,z,w,v\in \mathcal{C}$ 及 $f\in \mathcal{C}(x,y)$, $g\in \mathcal{C}(y,z)$, $h\in \mathcal{C}(z,w)$, $k\in \mathcal{C}(w,v)$, 有 $\mathcal{C}(x,v)$ 中的交换图$$(k\circ h)\circ (g\circ f)((k\circ h)\circ g)\circ fk\circ (h\circ (g\circ f))(k\circ (h\circ g))\circ fk\circ ((h\circ g)\circ f)\text{ ,}{a}_{k,h,g\circ f}{a}_{k\circ h,g,f}{a}_{k,h,g}\circ 1_f{a}_{k,h\circ g,f}{1}_k\circ a_{h,g,f}$$其中, 我们忽略了关于 $x,y,z,w,v$ 的下标.

通过 $\infty$-范畴

也可以通过 $(\infty ,2)$-范畴来定义 $2$-范畴.

定义 1.3. $2$-范畴是指 $(\infty ,2)$-范畴 $\mathcal{C}$, 并且它是 $(2,2)$-截断的.

也就是说, 对任何 $x,y\in \mathcal{C}$, 态射空间 $\mathcal{C}(x,y)$ 作为 $(\infty ,1)$-范畴, 实际上是 $1$-范畴, 即普通范畴.

2例子

•	每个普通范畴都能看成 $2$-范畴, 其中没有非平凡的 $2$-态射, 即所有 $2$-态射都是恒同 $2$-态射. 换言之, 态射范畴 $\mathcal{C}(x,y)$ 是离散范畴.

•	范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$, 及其全子范畴, 群胚范畴 $\mathsf{Grpd}$.

3相关概念

•	$3$-范畴、$n$-范畴、$\infty$-范畴

术语翻译

$2$-范畴 • 英文 $2$-category • 法文 $2$-catégorie (f)