2-函子

在范畴论中, $2$-函子是 $2$-范畴间的 “映射”, 正如函子是范畴间的 “映射”. $2$-函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 将 $\mathcal{C}$ 中的对象、态射、$2$-态射分别映到 $\mathcal{D}$ 中的对象、态射、$2$-态射.

从某种意义上说, $2$-函子的概念比函子更弱, 因为函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 需要严格地保持态射复合: $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$, 而 $2$-函子只需在相差一个 $2$-同构 (即可逆 $2$-态射) 的意义下保持态射复合: $F(g\circ f)\simeq F(g)\circ F(f)$.

例如, 记 $\mathsf{Sch}$ 为概形范畴, 则 $\mathsf{QCoh}(-):{\mathsf{Sch}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Cat}$ 是一个 $2$-函子, 它将概形 $X$ 映到 $X$ 上拟凝聚层的范畴 $\mathsf{QCoh}(X)$. 注意若 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 为概形态射, 则有普通函子的自然同构$$(g\circ f{)}^{\ast }\simeq f^{\ast }\circ g^{\ast }:\mathsf{QCoh}(Z)\to \mathsf{QCoh}(X),$$但该自然同构并不是函子的相等. (事实上, 在范畴中考虑相等的函子并没有很大意义, 应考虑自然同构的函子, 因为后者才被范畴等价保持.) 自然同构是 $\mathsf{Cat}$ 中的 $2$-同构, 故 $\mathsf{QCoh}(-)$ 在相差 $2$-同构的意义下保持态射复合, 因此它是 $2$-函子.

正如上例中所见, 从 $1$-范畴 (即普通范畴) 到 $2$-范畴可以有不平凡的 $2$-函子, 这类 $2$-函子也称为伪函子. 但反之则不然: 从 $2$-范畴到 $1$-范畴的 $2$-函子本质上都是 $1$-函子, 也就是从该 $2$-范畴的同伦范畴出发的 $1$-函子.

与 $2$-函子类似, 在 $n$-范畴之间可以有 $n$-函子; 在 $\infty$-范畴之间可以有 $\infty$-函子.

1定义

由于 $2$-范畴是幺半范畴的胚化, 下面的定义与幺半函子很相似: 它在相差自然同构的意义下保持复合和单位, 且与单位子和结合子相容.

定义 1.1 ($2$-函子). 设 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$ 为 $2$-范畴. $2$-函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 由以下信息组成:

•	一个映射$$F:\mathrm{Ob}(\mathcal{C})⟶\mathrm{Ob}(\mathcal{D}).$$

•	对任何 $x,y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个函子$$F_{x,y}:\mathcal{C}(x,y)⟶\mathcal{D}(F(x),F(y)).$$

•	对任何 $x,y,z\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个自然同构$$\mathcal{C}(y,z)\times \mathcal{C}(x,y)\mathcal{D}(F(y),F(z))\times \mathcal{D}(F(x),F(y))\mathcal{C}(x,z)\mathcal{D}(F(x),F(z))\text{ ,}\circ F_{y,z}\times F_{x,y}\circ F_{x,z}⟹c_{x,y,z}$$从而 $F$ 借助之保持复合.

•	对任何 $x\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有 $\mathcal{D}(F(x),F(x))$ 中的同构$$i_x:F_{x,x}(1_x)\simeq 1_{F(x)},$$从而 $F$ 借助之保持恒同态射.

它们满足以下条件:

•

对任何 $x,y,z,w\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 及 $f\in \mathcal{C}(x,y)$, $g\in \mathcal{C}(y,z)$, $h\in \mathcal{C}(z,w)$, 有 $\mathcal{D}(F(x),F(w))$ 中的交换图$$F((h\circ g)\circ f)F(h\circ (g\circ f))F(h\circ g)\circ F(f)F(h)\circ F(g\circ f)(F(h)\circ F(g))\circ F(f)F(h)\circ (F(g)\circ F(f))\text{ ,}F(a_{h,g,f})c_{h\circ g,f}{c}_{h,g\circ f}{c}_{h,g}\circ F(f)F(h)\circ c_{g,f}{a}_{F(h),F(g),F(f)}$$其中, 为记号简便, 我们忽略了所有关于 $x,y,z,w$ 的下标, 而其中出现的下标是指自然同构的分量; $a$ 是 $2$-范畴结构中的结合子, 而 $c$ 是上面的自然同构.

•

对任何 $x,y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 及 $f\in \mathcal{C}(x,y)$, 有 $\mathcal{D}(F(x),F(y))$ 中的交换图$$F(1_y\circ f)F(f)F(1_y)\circ F(f)1_{F(y)}\circ F(f)\text{ ,}F(l_f)c_{1_y,f}i\circ F(f)l_{F(f)}F(f\circ 1_x)F(f)F(f)\circ F(1_x)F(f)\circ 1_{F(x)}\text{ ,}F(r_f)c_{f,1_x}F(f)\circ i{r}_{F(f)}$$其中, 我们忽略了关于 $x,y$ 的下标; $l,r$ 是 $2$-范畴结构中的左、右单位子, 而 $i$ 是上面的同构.

2相关概念

•	$n$-函子、$\infty$-函子

术语翻译

$2$-函子 • 英文 $2$-functor • 德文 $2$-Functor (m) • 法文 $2$-foncteur (m)

伪函子 • 英文 pseudo-functor • 法文 pseudo-foncteur (m)