拟凝聚层

代数几何复几何中, 拟凝聚层凝聚层的推广, 也是向量丛的进一步推广. 大致说, 凝聚层允许不同点处的纤维是不同维数的向量空间, 而拟凝聚层则允许这些向量空间是无穷维的.

代数几何中, 概形上的拟凝聚层有十分简洁的代数描述: 它在仿射开集 上由 -给出.

1定义

对环化空间

拟凝聚层可以对一般的环化空间环化意象定义. 在代数几何中, 我们主要考虑概形; 在复几何中, 主要考虑复流形复解析空间.

定义 1.1 (拟凝聚层).环化空间环化意象, -. 称 拟凝聚层, 如果以下条件成立:

存在 开覆盖 , 使得对每个 存在集合 -模的正合列其中 .

对概形

概形上, 拟凝聚层有一种简洁的代数描述. 我们首先定义仿射概形上的拟凝聚层.

定义 1.2 ().交换环, -. 记 . 定义 - 如下:

, 定义 局部化. 这给出了 的一组拓扑基上的预层.

可以验证该预层满足层公理, 故给出了 上的层 .

对概形上其它种类的拓扑也有类似的定义.

概形上的拟凝聚层可以定义为局部看起来像是 的模层.

定义 1.3 (拟凝聚层).概形, -模. 称 拟凝聚层, 如果以下条件成立:

对任意 , 存在含 的仿射开集 , 及 -模 , 使得 .

下面命题 2.4 说明, 拟凝聚层在任意仿射开集上的限制都形如 .

2性质

拟凝聚层构成 Abel 范畴, 且有较好的函子性.

命题 2.1 (拟凝聚层范畴).Abel 层范畴 中, 拟凝聚层对取余核扩张封闭. 由此拟凝聚层构成 Abel 范畴, 称为拟凝聚层范畴, 记作 .

命题 2.2 (拉回层). 设有环化空间 (或环化意象) 间的态射 , 则拟凝聚层 沿 拉回层 也是拟凝聚层.

命题 2.3 (前推层). 设有概形间的拟紧拟分离态射 , 则拟凝聚层 沿 前推层 也是拟凝聚层. 事实上它导出前推层的每一阶上同调 都是拟凝聚层.

仿射概形上的拟凝聚层有如下性质, 它们是一般的拟凝聚层 Čech 上同调计算的理论基础, 是复几何中 Henri Cartan定理 A定理 B 在代数几何中的类比.

命题 2.4.平坦拓扑Zariski 拓扑之间任何一种拓扑, 仿射概形上的拟凝聚层必形如 1.2.

命题 2.5 (Serre).平坦拓扑Zariski 拓扑之间任何一种拓扑, 仿射概形上的拟凝聚层 层上同调

3例子

所有凝聚层都是拟凝聚层.

4相关概念

术语翻译

拟凝聚层英文 quasi-coherent sheaf德文 quasikohärente Garbe法文 faisceau quasi-cohérent拉丁文 fascis quasi-cohaerens