拟紧态射

拟紧态射代数几何中的概念, 指紧集原像是紧集的概形态射.

值得注意的是, 由于 Zariski 拓扑很粗糙, 拟紧只是个较弱的有限性条件 (它等价于仿射开集的原像是有限个仿射开集之并). 微分几何中紧性概念的正确类比是紧合态射.

1定义

定义 1.1 (拟紧态射). 称概形态射 拟紧, 是指存在 的仿射开覆盖 , 使得诸 的底拓扑空间.

注 1.2. 这里 “拟紧” 一词是历史遗留, 这个词曾经表示现代意义的 “紧”. 而当时 “紧” 则相当于现在的 “紧 Hausdorff”.

拟紧概形则和通常一样, 是拟紧态射的 “绝对版本”.

定义 1.3 (拟紧概形). 称概形 拟紧, 是指 上拟紧, 即典范态射 拟紧.

2性质

命题 2.1. 态射 拟紧当且仅当对 中任意仿射开集 , 紧, 这也等价于 是有限个仿射开集之并.

特别地, 概形 拟紧当且仅当 的底空间紧.

命题 2.2.

拟紧态射的复合仍然拟紧.

拟紧态射的基变换也拟紧.

命题 2.3 (平坦下降). 对概形态射 与拟紧、忠实平坦态射 , 如基变换 拟紧, 则 拟紧.

命题 2.4. 若态射 拟紧, 则 中闭当且仅当 特殊化封闭.

证明. 对任意概形闭集都在特殊化下封闭. 现只需证另一边, 假设 在特殊化下封闭. 闭性对 是局部性质, 可不妨设其仿射, 记为 . 此时 为有限个仿射开集之并, 记为 . 令 , 它的谱是这些开集的无交并 (这里用到有限性), 则有满射 . 用 替换 , 可不妨设 也仿射.

由于 在特殊化下封闭, 其补集在一般化下封闭, 因此对 的补集中任意一点 , . 因此 为空. 因此 . 由于 滤余极限 且张量积与滤余极限交换, 必然存在某个 使得 . 即包含 的主开集 不交. 由 的任意性, 为闭集.

命题 2.5. 拟紧概形至少有一个闭点.

术语翻译

拟紧态射英文 quasi-compact morphism法文 morphisme quasi-compact拉丁文 morphismus quasi-compactus