开浸入

开浸入是拓扑空间开集含入的代数几何对应物.

1定义

定义 1.1. 称环层空间态射 $j:(U,{\mathcal{O}}_U)\to (X,{\mathcal{O}}_X)$ 为开浸入, 指底空间映射 $j:U\to X$ 是从 $U$ 到 $X$ 的开子空间的同胚, 而结构层映射给出同构 ${\mathcal{O}}_U=j^{-1}{\mathcal{O}}_X$. 此时亦称 $U$ 是 $X$ 的开子空间. 称概形态射 $j:U\to X$ 为开浸入, 指其作为环层空间态射是开浸入. 此时亦称 $U$ 是 $X$ 的开子概形.

注 1.2. 于是环层空间 (概形) $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 的开子空间 (开子概形) 范畴等价于拓扑空间 $X$ 的开子空间范畴, 因其结构层直接被定义确定.

2例子

例 2.1. 对环 $A$ 以及 $f\in A$, 自然态射 $\mathrm{Spec}{A}_f\to \mathrm{Spec}A$ 是开浸入, 对应 $\mathrm{Spec}A$ 的开子集 $D(f)$. 需要注意的是, 仿射概形间开浸入并不都长这样.

例 2.2. 一般地, 对环 $A$ 及其乘性子集 $S$, 自然态射 $\mathrm{Spec}{S}^{-1}A\to \mathrm{Spec}A$ 未必是开浸入, 如果 $S$ 比较 “无限”. 比如 $\mathrm{Spec}\mathbb{Q}\to \mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ 就不是开浸入, 因其像不是开集.

3性质

开浸入是平凡程度仅次于同构的概形态射.

命题 3.1. 开浸入在复合和基变换下封闭, 且是:

•	概形范畴单态射.
•	局部有限表现态射.
•	平坦态射.
•	平展态射.

命题 3.2. 一个态射是开浸入当且仅当它是平坦、局部有限表现的单态射.

4相关概念

•	浸入
•	Zariski 景
•	$(-1)$-截断态射

术语翻译

开浸入 • 英文 open immersion • 德文 offene Immersion • 法文 immersion ouverte • 拉丁文 immersio aperta • 古希腊文 ἀνοικτὴ ἐμβάθυσις

开子概形 • 英文 open subscheme • 德文 offenes Unterschema • 法文 sous-schéma ouvert • 拉丁文 subschema apertum • 古希腊文 ἀνοικτὸν ὑπόσχημα