满射 (代数几何)

本文介绍的是概形之间的满射. 关于集合的满射, 请参见 “满射”.

在代数几何中, 满射是一类概形态射, 是诱导底拓扑空间的满射的态射.

需要注意的是, 概形的满射与概形范畴中的满态射并不相同; 后者并没有很直接的描述.

1定义

定义 1.1. 称概形态射 $f:X\to Y$ 为满射, 若 $f$ 诱导的底拓扑空间的映射是满射.

2性质

命题 2.1. 概形之间满射的复合、基变换仍是满射.

证明. 拓扑空间满射的复合仍是满射, 所以概形满射的复合是满射.

假设有基变换图表$$X^{\prime }X{Y}^{\prime }Y\text{ ,}{g}^{\prime }{f}^{\prime }┌fg$$其中 $f$ 满. 取 $y^{\prime }\in Y^{\prime }$, 记 $y=g(y^{\prime })$. 取 $x\in X$ 使 $f(x)=y$. 记 $Z=\mathrm{Spec}(\kappa (x){\otimes }_{\kappa (y)}\kappa (y^{\prime }))$. 则由纤维积的定义, 得到态射 $Z\to X^{\prime }$, 使得其与 $f^{\prime }$、$g^{\prime }$ 的复合分别为 $Z$ 向点 $y^{\prime }$、$x$ 的投影. 由于 $Z$ 非空, 知 $y^{\prime }$ 落在 $f^{\prime }$ 的像中.

$\square$

3相关概念

术语翻译

满射 • 英文 surjective morphism • 法文 morphisme surjectif (m)