满态射

本文介绍的是范畴论中的概念. 关于代数几何中的概念, 请参见 “满射 (代数几何)”.

在范畴论中, 满态射是范畴中的一类态射. 这一概念描述的是类似集合间满射的态射, 但仅通过范畴中的信息来定义, 故将集合间满射的概念推广到任何范畴中.

满态射与单态射互为对偶.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 为范畴, $f:x\to y$ 为 $\mathcal{C}$ 中态射. 称 $f$ 为满态射, 如果满足以下条件:

•	对任何对象 $z\in \mathcal{C}$ 及任何态射 $g,g^{\prime }:y\to z$, 若 $g\circ f=g^{\prime }\circ f$, 则 $g=g^{\prime }$.

等价地说,

•	对任何对象 $z\in \mathcal{C}$, 集合间映射$$f^{\ast }:\mathcal{C}(y,z)\to \mathcal{C}(x,z)$$是单射, 其中 $f^{\ast }$ 定义为 $(-)\circ f$.

2例子

•	集合的满态射就是满射.

•	群的满态射就是集合意义下的满射.

•	环的满态射不一定是集合意义下的满射. 例如, 含入映射 $\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Q}$ 是满态射, 但不是满射. 但不难看出, 环的满射一定是满态射.

•	拓扑空间的满态射也不一定是集合意义下的满射. 例如, Hausdorff 空间之间的连续映射只要像稠密, 就是满态射. 但反过来, 集合意义下的满射一定是满态射.

3性质

命题 3.1. 满态射的复合仍是满态射; 若 $g\circ f$ 是满态射, 则 $g$ 是满态射.

证明. 这是因为集合间单射的复合仍是单射, 且集合间单射满足第二条性质.

$\square$

命题 3.2. 满态射被推出保持.

命题 3.3. 满态射被左伴随保持.

4相关概念

术语翻译

满态射 • 英文 epimorphism • 德文 Epimorphismus (m) • 法文 épimorphisme (m)