单子

单子是范畴论的基本概念, 抽象出自由函子带有的范畴论结构.

1定义

定义 1.1. 范畴 $\mathcal{C}$ 上的单子指幺半范畴 $(\mathsf{End}(\mathcal{C}),\circ )$ 中的结合代数. 换言之, 它包括如下结构:

•	自函子 $T:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$;
•	自然变换 $\eta :1\Rightarrow T$ 与 $\mu :T\circ T\Rightarrow T$, 使得 $\mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_T$, $T\mu =\mu T$.

注意 $\mathcal{C}$ 自带幺半范畴 $\mathsf{End}(\mathcal{C})$ 的左模结构. 单子 $T$ 的模, 或称 $\mathcal{C}$ 中的 $\mathbf{T}$-代数, 指它在 $\mathcal{C}$ 中的模对象. 换言之, 它包括如下结构:

•	对象 $A\in \mathcal{C}$;
•	映射 $a:T(A)\to A$, 使得 $a\circ \eta (A)=1_A$, $a\circ T(a)=a\circ \mu (A)$.

它们构成的范畴记作 ${\mathsf{Mod}}_T(\mathcal{C})$ 或 ${\mathsf{Alg}}_T(\mathcal{C})$.

注意上面的定义只用到了范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 的 $2$-范畴结构, 故可推广如下:

定义 1.2. $2$-范畴 $\mathcal{B}$ 中的单子指对象 $c\in \mathcal{B}$ 附带幺半范畴 $(\mathsf{End}(c),\circ )$ 中的结合代数. 换言之, 它包括如下结构:

•	对象 $c\in \mathcal{B}$;
•	$1$-态射 $T:c\to c$;
•	$2$-态射 $\eta :1\Rightarrow T$ 与 $\mu :T\circ T\Rightarrow T$, 使得 $\mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_T$, $T\mu =\mu T$.

对 $d\in \mathcal{B}$, 范畴 $\mathsf{Map}(d,c)$ 自带幺半范畴 $\mathsf{End}(c)$ 的左模结构. 单子 $(c,T)$ 在 $d$ 上的模指它在 $\mathsf{Map}(d,c)$ 中的模对象. 换言之, 它包括如下结构:

•	$1$-态射 $A:d\to c$;
•	$2$-态射 $\alpha :T\circ A\Rightarrow A$, 使得 $\alpha \circ \eta A=1_A$, $\alpha \circ T\alpha =\alpha \circ \mu A$.

在定义 1.2 中取 $\mathcal{B}$ 为范畴的范畴, 取 $d$ 为单点范畴, 即得定义 1.1.

2例子

•	各种代数结构的自由函子都构成单子. 例如: ∘ 自由群函子 $F_{\mathsf{Grp}}$ 是 $\mathsf{Set}$ 上的单子, 其两个自然变换分别是自然含入 $S\to F_{\mathsf{Grp}}(S)$ 与 $F_{\mathsf{Grp}}(S)$ 的群结构给出的映射 $F_{\mathsf{Grp}}(F_{\mathsf{Grp}}(S))\to F_{\mathsf{Grp}}(S)$. 此单子的模就是群. ∘ 把集合视为离散拓扑空间, 则 Stone–Cech 紧化函子 $\beta$ 是 $\mathsf{Set}$ 上的单子, 其两个自然变换分别是自然含入 $S\to \beta S$ 以及由 $\beta S$ 紧 Hausdorff 得到的映射 $\beta \beta S\to \beta S$. 此单子的模就是紧 Hausdorff 空间.
•	更一般地, 对任意伴随函子 $F:\mathcal{C}\rightleftarrows \mathcal{D}:G$, 复合函子 $GF$ 都是 $\mathcal{C}$ 上的单子, 其两个自然变换分别是 $\eta :1_{\mathcal{C}}\to GF$ 与 $G\epsilon F:GFGF\to GF$, 其中 $\eta :1_{\mathcal{C}}\to GF$ 是伴随函子的幺, $\epsilon :FG\to 1_{\mathcal{D}}$ 是伴随函子的余幺. 详见单子性条目. 取自由–遗忘伴随即得上例.

3高阶范畴中

4相关概念

•

单子性

术语翻译

单子 • 英文 monad