自然变换

在范畴论中, 自然变换是函子之间的 “映射”, 正如函子是范畴之间的 “映射”.

具体地说, 若有范畴 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 及函子 $F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 则从 $F$ 到 $G$ 的一个自然变换可以对每个对象 $x\in \mathcal{C}$, 给出 $\mathcal{D}$ 中态射 $F(x)\to G(x)$, 并且满足某种自然性 (定义 1.1).

自然变换是函子范畴中的态射, 也是范畴的范畴中的 $2$-态射.

1定义

定义 1.1 (自然变换). 设 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 为范畴, $F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为函子. 从 $F$ 到 $G$ 的自然变换 $\alpha$, 通常记为$$\alpha :F\to G\text{或}\alpha :F\Rightarrow G,$$由以下信息构成:

•	对每个 $x\in \mathcal{C}$, 有一个 $\mathcal{D}$ 中态射 ${\alpha }_x:F(x)\to G(x)$,

满足以下条件:

•	(自然性) 对 $\mathcal{C}$ 中任一态射 $f:x\to y$, 有交换图$$F(x)F(y)G(x)G(y)\text{ .}F(f){\alpha }_x{\alpha }_{y}G(f)$$

2例子

3运算

4相关概念

术语翻译

自然变换 • 英文 natural transformation • 德文 natürliche Transformation (f) • 法文 transformation naturelle (f)