微分分次范畴

微分分次范畴是一类充实范畴, 也就是充实于链复形范畴的范畴. 也就是说, 在微分分次范畴 $\mathcal{C}$ 中, 对任两个对象 $X,Y$, 都有一个链复形$$\mathcal{C}(X,Y),$$作为从 $X$ 到 $Y$ 的态射空间. 该链复形的 $H^0$ (第 $0$ 个链上同调) 的元素可以视为从 $X$ 到 $Y$ 的态射, 其 $H^{-1}$ 的元素代表态射间的同伦, $H^{-2}$ 的元素代表同伦之间的同伦, 如此等等.

根据上述描述, 微分分次范畴也同时带有 $\infty$-范畴的结构.

另一方面, 很多常见的三角范畴也具有微分分次范畴的结构, 称为三角微分分次范畴. 这一结构可以用来弥补三角范畴的不足, 即忽视高阶态射而导致映射锥不具有函子性. 微分分次范畴包含了这些高阶态射的信息.

1定义

定义 1.1. 设 $k$ 为交换环, 记 $\mathsf{Ch}(k)$ 为 $k$ 上的链复形范畴. 通过链复形的张量积 $\otimes$ 将其视为幺半范畴.

则 $k$ 上的微分分次范畴是指 $\mathsf{Ch}(k)$-充实范畴.

2例子

•	$k$ 上的链复形范畴 $\mathsf{Ch}(k)$ 自身是 $k$ 上的微分分次范畴.

•	若 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 的态射空间是 $k$-模, 且复合是 $k$-双线性的, 则其导出范畴 (如果存在) 是 $k$ 上的微分分次范畴.

3性质

(...)

术语翻译

微分分次范畴 • 英文 dg-category; differential graded category