幺半范畴

在范畴论中, 幺半范畴 (也称为张量范畴) 是一类范畴, 其中的对象可以做乘法操作, 就像在幺半群里一样. 这样的乘法也常常称为 “张量积”.

例如, 集合范畴中, 集合的 Descartes 积、无交并都可以作为乘法, 给出幺半范畴结构. 在向量空间的范畴中, 向量空间的张量积、直和也都能作为乘法, 给出幺半范畴结构.

幺半范畴是幺半群的范畴化. 另一方面, 幺半范畴的胚化是 $2$ -范畴.

1定义

定义 1.1 (幺半范畴). 幺半范畴是指一个六元组 $(C, \otimes, 1, a, l, r)$ , 其中

•	$C$ 是范畴.
•	$\otimes$ 是二元函子 $\otimes : C \times C (x, y) \to C, \mapsto x \otimes y,$ 称为张量积.
•	$1 \in C$ 是对象, 称为 $C$ 的单位对象.
•	$a, l, r$ 是自然同构 $a_{x, y, z} : l_{x} : r_{x} : (x \otimes y) \otimes z 1 \otimes x x \otimes 1 ≃ x \otimes (y \otimes z), ≃ x, ≃ x,$ 分别称为结合子、左单位子、右单位子.

它们满足以下条件:

•	(三角形公理) 对任意 $x, y \in C$ , 有交换图 $(x \otimes 1) \otimes y x \otimes (1 \otimes y) x \otimes y . a_{x, 1, y} r_{x} \otimes 1_{y} 1_{x} \otimes l_{y}$
•	(五边形公理) 对任意 $x, y, z, w \in C$ , 有交换图 $(x \otimes y) \otimes (z \otimes w) ((x \otimes y) \otimes z) \otimes w x \otimes (y \otimes (z \otimes w)) (x \otimes (y \otimes z)) \otimes w x \otimes ((y \otimes z) \otimes w) . a_{x, y, z \otimes w} a_{x \otimes y, z, w} a_{x, y, z} \otimes 1_{w} a_{x, y \otimes z, w} 1_{x} \otimes a_{y, z, w}$

在无歧义时, 六元组 $(C, \otimes, 1, a, l, r)$ 通常简记为 $(C, \otimes)$ 或者 $C$ .

•	设 $C$ 是任何带有有限乘积的范畴. 则 $(C, \times)$ 是幺半范畴, 称为积幺半范畴. 其单位对象为其终对象, 即空乘积. 例如, $(Set, \times)$ 和 $(Top, \times)$ 都是常见的积幺半范畴.
•	设 $C$ 是任何带有有限余积的范畴. 则 $(C, ⊔)$ 是幺半范畴, 称为余积幺半范畴. 其单位对象为其始对象, 即空余积.
•	设 $R$ 是交换环. 则 $R$ -模的范畴 $(R - Mod, \otimes)$ 是幺半范畴, 其中 $\otimes$ 是 $R$ -模的张量积, 其单位对象是 $R$ . 特别地, $(Ab, \otimes)$ 是幺半范畴, 其单位对象是 $Z$ .
•	设 $R$ 是交换环. 则 $R$ 上的链复形范畴 $(Ch (R), \otimes)$ 是幺半范畴, 其中 $\otimes$ 是链复形的张量积. 其单位对象是在第 $0$ 个位置为 $R$ , 其余为 $0$ 的链复形.

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术语翻译

幺半范畴 • 英文 monoidal category • 德文 monoidale Kategorie • 法文 catégorie monoïdale • 拉丁文 categoria monoides • 古希腊文 μονοειδὴς κατηγορία