链复形

链复形是指由 Abel 群 (或模、向量空间等) 构成的形如$$\cdots \to C_{n+1}\stackrel{{\partial }_{n+1}}{⟶}{C}_n\stackrel{{\partial }_n}{⟶}{C}_{n-1}\to \cdots$$的无穷长序列, 其中任两个相邻映射的复合为 $0$. 链复形也可以记作$$\cdots \to C^{n-1}\stackrel{d^{n-1}}{⟶}{C}^n\stackrel{d^n}{⟶}{C}^{n+1}\to \cdots ,$$这种指标写成上标的链复形也被称为上链复形.

链复形是同调代数的研究对象. 通过与拓扑空间的奇异链复形进行类比, 我们可以将链复形视为空间的一种代数形式. 这种观点也称为代数拓扑–同调代数类比.

1定义

链复形

定义 1.1 (链复形). 设 $\mathcal{A}$ 是加性范畴. 则 $\mathcal{A}$ 中的链复形 $(C_{\bullet },\partial )$ 由以下信息构成:

•	对每个 $n\in \mathbb{Z}$, 有一个对象 $C_n\in \mathcal{A}$.
•	对每个 $n\in \mathbb{Z}$, 有一个态射 ${\partial }_n:C_n\to C_{n-1}$, 称为微分.

它们满足:

•	对任意 $n\in \mathbb{Z}$, 复合态射 ${\partial }_n\circ {\partial }_{n+1}=0$. 这一条件常常简记为 ${\partial }^2=0$.

以下术语是拓扑空间的奇异链复形中相应概念的类比.

定义 1.2 (链、圈、边界). 定义 1.1 中,

•	$C_n$ 也称为 $\mathbf{n}$-链构成的对象.

若 $\mathcal{A}$ 中还有核、像的概念, 例如若 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, 则

•	$Z_n=\ker ({\partial }_n:C_n\to C_{n-1})$ 称为 $\mathbf{n}$-圈构成的对象.

•	$B_n=\mathrm{im}({\partial }_{n+1}:C_{n+1}\to C_n)$ 的元素称为 $\mathbf{n}$-边界构成的对象.

定义 1.3 (链映射). 链复形 $(C_{\bullet },{\partial }^C)$ 和 $(D_{\bullet },{\partial }^D)$ 间的链映射 $f:C\to D$ 是指一族态射 $(f_n:C_n\to D_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$, 使得对每个 $n\in \mathbb{Z}$, 都有 $f_{n-1}\circ {\partial }_n^C={\partial }_n^D\circ f_n$. 换言之, 下述图表交换: $$\cdots C_n{C}_{n-1}\cdots \cdots D_n{D}_{n-1}\cdots {\partial }_n^C{f}_n{f}_{n-1}{\partial }_n^D$$

定义 1.4 (链复形范畴). 设 $\mathcal{A}$ 是加性范畴. 则 $\mathcal{A}$ 中所有链复形 (定义 1.1) 和它们之间的链映射 (定义 1.3) 构成的范畴称为 $\mathcal{A}$ 上的链复形范畴, 记作 ${\mathsf{Ch}}_{\bullet }(\mathcal{A})$.

上链复形

上链复形的概念与链复形 (定义 1.1) 是等价的, 只不过记号有微小的差别.

定义 1.5 (上链复形). 设 $\mathcal{A}$ 是加性范畴. 则 $\mathcal{A}$ 中的上链复形 (有时也称为链复形) $(C^{\bullet },d)$ 由以下信息构成:

•	对每个 $n\in \mathbb{Z}$, 有一个对象 $C^n\in \mathcal{A}$.
•	对每个 $n\in \mathbb{Z}$, 有一个态射 $d^n:C^n\to C^{n+1}$, 称为微分.

它们满足:

•	对任意 $n\in \mathbb{Z}$, 复合态射 $d^{n+1}\circ d^n=0$.

以下术语是拓扑空间的奇异上链复形中相应概念的类比.

定义 1.6 (上链、上圈、上边界). 定义 1.5 中,

•	$C^n$ 也称为 $\mathbf{n}$-上链构成的对象.

若 $\mathcal{A}$ 中还有核、像的概念, 例如若 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, 则

•	$Z^n=\ker (d^n:C^n\to C^{n+1})$ 称为 $\mathbf{n}$-上圈构成的对象.

•	$B^n=\mathrm{im}(d^{n-1}:C^{n-1}\to C^n)$ 的元素称为 $\mathbf{n}$-上边界构成的对象.

与定义 1.3 类似, 上链复形间也有链映射的概念

定义 1.7 (上链复形范畴). 设 $\mathcal{A}$ 是加性范畴. 则 $\mathcal{A}$ 中所有上链复形 (定义 1.5) 和它们之间的链映射构成的范畴称为 $\mathcal{A}$ 上的上链复形范畴 (有时也称为链复形范畴), 记作 ${\mathsf{Ch}}^{\bullet }(\mathcal{A})$.

链复形 (定义 1.1) 与上链复形 (定义 1.5) 可以通过记号互换$$C_n⟷C^{-n}$$来相互转换. 这说明范畴等价$${\mathsf{Ch}}_{\bullet }(\mathcal{A})\simeq {\mathsf{Ch}}^{\bullet }(\mathcal{A}).$$我们有时也用 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 来表示这两个范畴中的任一个. 链复形范畴也是加性范畴.

2例子

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3性质

链同调

主条目: 链同调

在定义中的记号下, 假设 $\mathcal{A}$ 具有核、像、商对象的概念, 例如假设 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴. 在链复形 $(C_{\bullet },\partial )$ 中, 微分映射 $\partial$ 满足 ${\partial }^2=0$, 因此有 $B_n\subset Z_n$, 商对象 $H_n(C_{\bullet })=Z_n/B_n$ 称为 $(C_{\bullet },\partial )$ 的 $n$ 阶同调. 类似地, 上链复形 $(C^{\bullet },d)$ 中, 商对象 $Z^n/B^n$ 称为其 $n$ 阶上同调, 记为 $H^n(C^{\bullet })$.

同伦论

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Dold–Kan 对应

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4相关概念

术语翻译

链复形 • 英文 chain complex • 德文 Kettenkomplex (m) • 法文 complexe de chaines (m)

上链复形 • 英文 cochain complex • 德文 Kokettenkomplex (m) • 法文 complexe de cochaines (m)