内射模

内射模模范畴中的内射对象, 即使得函子 正合-模 .

1定义

定义 1.1 (投射模). , - 称为内射模, 如果函子 正合. 即对任意正合列 , 有正合列

注 1.2. 由于对任意 -模 , 函子 是左正合的, 因此内射模定义等价于此函子把单射映至满射.

2性质

命题 2.1 (Baer 判别法). 以下二者等价:

是内射模.

的任意理想 以及同态 , 存在同态 上限制为 .

命题 2.2 (足够内射对象). 对任意模 , 存在内射模 单射 .

上面两个命题的证明参见条目 Grothendieck Abel 范畴.

命题 2.3 (直积、直和). 内射模的直积内射. 如 是左 Noether 环, 内射左 -模的直和内射.

证明. 前一句话是因为 和第二个分量的直积交换, 而满射的直积还是满射. 后一句话是因为 Baer 判别法: 左 Noether 环的左理想都有限生成, 有限生成理想到一个直和的映射总穿过其中有限个分量的直和, 而有限直和等于有限直积, 然后用前一句话即可.

命题 2.4 (与投射模的关系). 上代数, 是左 -模且是有限维 -向量空间, 则 是投射左 -模当且仅当 是内射右 -模, 反之亦然.

命题 2.5 (与平坦模的关系). 对一般的环 , 左 -模 平坦当且仅当右 -模 内射.

证明.-模 平坦等价于对任意右 -模单射 单. 由函子 忠实正合, 这等价于 满, 亦即 满, 即右 -模 内射.

命题 2.6 (与可除模的关系).整环, 其上内射模为可除模. 如 主理想整环, 内射模与可除模二者等价.

证明. 这是 Baer 判别法的立即推论.

3例子

上内射模.

4相关概念

自由模

平坦模

投射模

内射包

Grothendieck Abel 范畴

术语翻译

内射模英文 injective module德文 Injektiver Modul法文 module injectif拉丁文 modulus injectivus古希腊文 ἑνιετικὸν πρότυπον