Noether 环

Noether 环是具有一定有限性质的环, 满足任意理想族都有极大元 (定义 1.1).

1定义

定义 1.1. 称一个环为

•	左 Noether 环, 意思是其任一族左理想在包含偏序下都有极大元.
•	右 Noether 环, 意思是其任一族右理想在包含偏序下都有极大元.
•	Noether 环, 意思是其既是左 Noether 环也是右 Noether 环.

显然对于交换环, 这些概念都是一样的.

注 1.2 (理想链定义). 左 Noether 的一个等价定义是左理想升链都终止, 即对任意左理想升链$$I_1\subset I_2\subset \cdots ,$$都存在 $n$ 使得 $I_n=I_{n+1}=\cdots$.

左 Noether 显然推出升链终止, 因为上面的升链必须终止于理想族 $\{I_n{\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}$ 的极大元. 反过来如不左 Noether, 则存在一族左理想没有极大元, 便可归纳取出严格上升的左理想链.

对右 Noether 与 Noether 亦有完全一样的事情.

注 1.3 (有限生成定义). 左 Noether 的另一等价定义是每个左理想都有限生成.

如左 Noether, 则对任一左理想 $I$, 考虑左理想族$$\{J\subseteq I\mid J有限生成\}.$$其中有极大元. 不难发现此极大元必须为 $I$, 故 $I$ 有限生成. 反过来如不左 Noether, 则存在严格上升的左理想链$$I_1⫋I_2⫋\cdots ,$$取 $a_n\in I_{n+1}\setminus I_n$, 则易知这一列 $a_n$ 生成的左理想不可能有限生成.

2性质

一般性质

为简明起见, 以下仅对左 Noether 环陈述性质. 右边的情况完全一样.

命题 2.1. 左 Noether 环的商环左 Noether.

证明. 这是因为同构定理, $A/I$ 的左理想与 $A$ 中包含 $I$ 的左理想一一对应.

$\square$

命题 2.2. 一个环左 Noether, 等价于其上所有有限生成左模为左 Noether 模, 即等价于其上有限生成左模的子模也有限生成.

交换代数性质

本小节中的环都是交换环.

命题 2.3. Noether 环的局部化是 Noether 环.

证明. 设 $A$ 为 Noether 环, $S$ 为 $A$ 的任一乘性子集, 要证 $S^{-1}A$ 为 Noether 环, 只需证它的任意理想升链终止. 对任意 $S^{-1}A$ 的理想升链$$J_1\subset J_2\subset \cdots ,$$$$J_1\cap A\subset J_2\cap A\subset \cdots$$是 $A$ 的理想升链, 它终止. 注意到对任意 $S^{-1}A$ 的理想 $J$, $S^{-1}(J\cap A)=J$, 因此上述 $S^{-1}A$ 的理想升链也终止.

$\square$

以下定理是基本的, 证明见主条目 Hilbert 基定理.

定理 2.4 (Hilbert 基定理). 对 Noether 环 $A$, 其上多项式环 $A[X]$ 也 Noether.

由此, Noether 环上的有限生成代数都 Noether.

此外还有个奇妙刻画.

命题 2.5. 环 $A$ 是 Noether 环, 当且仅当其每个素理想都有限生成.

证明. 用反证法, 设 $A$ 不 Noether, 则它有不有限生成的理想. 先用 Zorn 引理证明其中有极大者. 为此只需证每一链不有限生成的理想 $\{I_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \Lambda }$ 之并 $I$ 仍不有限生成. 如 $I$ 有限生成, 取其生成元 $i_1,\dots ,i_n$. 则存在 $\lambda \in \Lambda$, $i_1,\dots ,i_n\in I_{\lambda }$. 这样便有 $I=I_{\lambda }$, 与 $I_{\lambda }$ 不有限生成矛盾!

所以不有限生成的理想中有极大元, 将其取出, 设为 $I$. 由条件它不是素理想, 故存在 $a,b\in A$, $ab\in I$ 但 $a,b\notin I$. 考虑理想$$J=(I:a)=\{x\in A\mid ax\in I\},$$则 $I\subseteq J$. 由 $b\in J$, $b\notin I$, 有 $I⫋J$. 于是 $J$ 有限生成, 设其为 $(j_1,\dots ,j_m)$. 另外 $I+(a)⫌I$ 也有限生成, 设其为 $(i_1+c_{1}a,\dots ,i_n+c_{n}a)$, $i_1,\dots ,i_n\in I$, $c_1,\dots ,c_n\in A$. 由此不难发现$$I=(i_1,\dots ,i_n,j_{1}a,\dots ,j_{m}a),$$为有限生成, 矛盾.

$\square$

3例子

•	域 (一般地, 除环) 是 Noether 环.
•	域上有限型的环是 Noether 环.
•	对 Lie 代数 $\mathfrak{g}$, 其泛包络代数 $U(\mathfrak{g})$ 是 Noether 环.
•	任取域 $k$. 其上无穷多个变元的多项式环 $k[X_1,X_2,X_3,\dots ]$ 不是 Noether 环, 因为有理想升链$$(X_1)⫋(X_1,X_2)⫋(X_1,X_2,X_3)⫋\cdots$$
•	Noether 环的子环未必 Noether. 任取一不 Noether 的整环, 如上例; 它总是它的分式域的子环, 域总是 Noether 环.

4相关概念

•

Noether 模

术语翻译

Noether 环 • 英文 Noetherian ring • 德文 noetherscher Ring • 法文 anneau noethérien