Krull 维数

Krull 维数交换代数代数几何中的维数概念, 以在代数中模拟 Euclid 空间以及流形的维数概念. 在交换代数和代数几何的语境下, 常被简称为维数.

具体地说, 交换环的维数是其中最长素理想升链的长度, 对偶地, 概形的维数是其中最长闭子概形降链的长度. 直观上, 每取一个概形的闭子概形, 维数就会降一维 (例如曲线的真整、闭子概形是有限个点), 因此这一定义是合理的.

1定义

定义 1.1 (交换环的维数). 交换环 Krull 维数 (若无歧义, 简称为维数) 是使得存在 中的素理想升链的自然数 的上确界 (可能为 ), 记作 .

对偶地, 我们可以定义概形的 Krull 维数.

定义 1.2 (概形的维数). 概形 Krull 维数 (若无歧义, 简称为维数) 是使得存在 中的闭子概形 (等价地, 不可约闭集) 降链的自然数 的上确界 (可能为 ), 记作 .

注 1.3. 常约定零环、空概形的维数为 .

上述定义可以自然地推广至交换环上的上.

定义 1.4 (模的维数). 交换环 上的模 Krull 维数 (若无歧义, 简称为维数) 指 的支集 中素理想链的最长长度, 其中

注 1.5. 有限生成时, 的 Krull 维数即是环 的维数. 时, 的维数即是 的维数.

定义 1.6 (高度). 交换环 中素理想 高度局部化 的 Krull 维数, 也即从 出发的素理想降链的最长长度, 记作 .

2例子

(一般地, Artin 环) 的 Krull 维数是 . 说明可以把域视为一个点, 而 Artin 环可以视为一些加粗的点.

域上多项式环 的维数是 . 相应地, 域上仿射空间 的维数是 . 说明维数的定义是合理的.

3性质

为获得好的性质, 我们在下面假定 Noether 环, 有限生成模.

基本性质

命题 3.1 (多项式). .

命题 3.2 (零点集). . 如 满足 是单射, 则取等.

命题 3.3 (完备化). 是局部环, 进拓扑下的完备化, 则有 .

与其它量的关系

Krull 维数和交换代数中的许多量有联系, 例如 Hilbert–Samuel 多项式, 深度同调维数. 为简便起见, 我们在下面假定 局部环 .

定义 3.4 (Hilbert–Samuel 多项式). 存在多项式 , 称为 Hilbert–Samuel 多项式, 满足对充分大的 , 其中 表示长度.

Krull 维数与 Hilbert 多项式的次数相等.

命题 3.5. .

Krull 维数大致上是最小的函数个数, 使得这些函数的零点集是有限的.

命题 3.6. 的维数是满足下述条件的最小自然数 : 存在 中元素 使得 是有限长度的.

维数和 “切空间” 维数的关系:

命题 3.7. . (如 时取等, 称 正则局部环).

维数与超越度的关系:

命题 3.8. 是域 有限生成整环, 分式域超越度 的维数相等.

定义 3.9 (深度). 序列 称为模 正则序列, 如果对任意 成立, 且 . 深度是其最长正规序列的长度, 记作 .

命题 3.10 (维数与深度). (取等时称 Cohen–Macaulay 模).

维数也和一些函子的 (上) 同调维数有关系.

命题 3.11. 的上同调维数如有限, 则等于 的维数 (取等时称 Gorenstein 环).

命题 3.12. 函子的同调维数, 以及函子的上同调维数如有限, 则等于 的维数 (取等时当且仅当 正则环).

4相关概念

术语翻译

Krull 维数英文 Krull dimension德文 Krulldimension (f)法文 dimension de Krull (f)