Krull 维数

Krull 维数 (常简称维数) 是交换代数中的维数概念, 通过代数–几何对偶来描述代数几何中维数的概念, 以在代数几何中模拟 Euclid 空间以及流形的维数概念.

具体地说, 交换环的维数是其中最长素理想升链的长度, 对偶地, 概形的维数是其中最长整、闭子概形降链的长度. 直观上, 每取一个概形的闭子概形, 维数就会降一维 (例如曲线的真整、闭子概形是有限个点), 因此这一定义是合理的.

1定义

定义 1.1 (交换环的维数). 交换环 $A$ 的 Krull 维数 (若无歧义, 简称为维数) 是使得存在 $A$ 中的素理想升链$${\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_n,$$的自然数 $n$ 的上确界 (可能为 $+\infty$), 记作 $\dim (A)$.

这与概形的维数的定义相对偶:

定义 1.2 (概形的维数). 概形 $S$ 的维数是使得存在 $S$ 中的整、闭子概形 (等价地, 不可约闭集) 降链$$S_0⊋S_1⊋\cdots ⊋S_n,$$的自然数 $n$ 的上确界 (可能为 $+\infty$), 记作 $\dim (S)$.

常约定零环、空概形的维数为 $-\infty$.

上述定义可以自然地推广至交换环的模上.

定义 1.3 (模的维数). 交换环 $A$ 上的模 $M$ 的 Krull 维数 (若无歧义, 简称为维数) 指 $M$ 的支集 $\mathrm{Supp}(M)\subseteq \mathrm{Spec}A$ 中素理想链的最长长度, 其中$$\mathrm{Supp}(M)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A\mid M_{\mathfrak{p}}\ne 0\}.$$

注 1.4. 在 $M$ 有限生成时, $M$ 的 Krull 维数即是环 $A/\mathrm{Ann}(M)$ 的维数. $M=A$ 时, $M$ 的维数即是 $A$ 的维数.

定义 1.5 (高度). 交换环 $A$ 中素理想 $\mathfrak{p}$ 的高度指局部化 $A_{\mathfrak{p}}$ 的 Krull 维数, 也即从 $\mathfrak{p}$ 出发的素理想降链的最长长度, 记作 $\mathrm{ht}\mathfrak{p}$.

2例子

•	域 (一般地, Artin 环) 的 Krull 维数是 $0$. 说明可以把域视为一个点, 而 Artin 环可以视为一些加粗的点.
•	域上多项式环 $k[x_1,\dots ,x_n]$ 的维数是 $n$. 相应地, 域上仿射空间 ${\mathbb{A}}^n$ 的维数是 $n$.

3性质

为获得好的性质, 我们在下面假定 $A$ 是 Noether 环, $M$ 是 $A$ 上有限生成模.

基本性质

命题 3.1 (多项式). $\dim (A[x])=\dim (A)+1$.

命题 3.2 (零点集). $\dim (M/xM)\ge \dim (M)-1$. 如 $x\in A$ 满足 $x\cdot :M\to M$ 是单射, 则取等.

命题 3.3 (完备化). 如 $(A,\mathfrak{m})$ 是局部环, $\hat{A}$ 是 $A$ 在 $\mathfrak{m}$ 进拓扑下的完备化, 则有 $\dim (A)=\dim (\hat{A})$.

与其它量的关系

Krull 维数和交换代数中的许多量有联系, 例如 Hilbert–Samuel 多项式, 深度和同调维数. 为简便起见, 我们在下面假定 $A$ 是局部环 $(A,\mathfrak{m})$.

定义 3.4 (Hilbert–Samuel 多项式). 存在多项式 $P$, 称为 Hilbert–Samuel 多项式, 满足对充分大的 $n$, $$P(n)=\ell (M/{\mathfrak{m}}^{n}M),$$其中 $\ell$ 表示长度.

Krull 维数与 Hilbert 多项式的次数相等.

命题 3.5. $\dim (M)=\mathrm{deg}(P(n))$.

Krull 维数大致上是最小的函数个数, 使得这些函数的零点集是有限的.

命题 3.6. 模 $M$ 的维数是满足下述条件的最小自然数 $n$: 存在 $A$ 中元素 $x_1,\cdots ,x_n$ 使得 $M/(x_{1}M+\cdots +x_{n}M)$ 是有限长度的.

维数和 “切空间” 维数的关系:

命题 3.7. $\dim (M)\le {\dim }_{A/\mathfrak{m}}(\mathfrak{m}M/{\mathfrak{m}}^{2}M)$. (如 $M=A$ 时取等, 称 $A$ 是正则局部环).

维数与超越度的关系:

命题 3.8. 如 $A$ 是域 $k$ 上有限生成整环, $A$ 的分式域在 $k$ 上超越度与 $A$ 的维数相等.

定义 3.9 (深度). 序列 $x_1,\dots ,x_n\in A$ 称为模 $M$ 的正则序列, 如果$$x_k\cdot :M/(x_{1}M+\cdots +x_{k-1}M)\to M/(x_{1}M+\cdots +x_{k-1}M)$$对任意 $k$ 成立, 且 $M/(x_{1}M+\cdots x_{n}M)\ne 0$. $M$ 的深度是其最长正规序列的长度, 记作 $\mathrm{depth}(M)$.

命题 3.10 (维数与深度). $\dim (M)\ge \mathrm{depth}(M)$ (取等时称 $M$ 是 Cohen–Macaulay 模).

维数也和一些函子的 (上) 同调维数有关系.

命题 3.11. $\mathrm{Hom}(-,A)$ 的上同调维数如有限, 则等于 $A$ 的维数 (取等时称 $A$ 是 Gorenstein 环).

命题 3.12. 函子$$(-)\otimes (-):A\text{-}\mathsf{Mod}\times A\text{-}\mathsf{Mod}\to A\text{-}\mathsf{Mod}$$的同调维数, 以及函子$$\mathrm{Hom}(-,-):A\text{-}{\mathsf{Mod}}^{\mathrm{op}}\times A\text{-}\mathsf{Mod}\to A\text{-}\mathsf{Mod}$$的上同调维数如有限, 则等于 $A$ 的维数 (取等时当且仅当 $A$ 是正则环).

4相关概念

术语翻译

Krull 维数 • 英文 Krull dimension • 德文 Krulldimension (f) • 法文 dimension de Krull (f)