维数 (代数几何)

关于其它含义, 请参见 “维数”.

代数几何中的维数是指代数簇、概形等几何对象的维数, 是微分几何中流形的维数的类比.

在代数–几何对偶下, 代数几何中的维数对应于交换代数中的 Krull 维数.

1定义

对代数簇、概形

定义 1.1 (维数). 设 $X$ 是拓扑空间.

•	$X$ 的维数 (或 Krull 维数) 是指 $X$ 中不可约闭集的链$$X_0⊊X_1⊊\cdots ⊊X_n$$的长度 $n$ 的上确界 (可能为 $+\infty$), 记作 $\dim X$. 约定空空间 $\varnothing$ 的维数为 $-\infty$.

•	$X$ 的不可约闭子空间 $Z\subseteq X$ 在 $X$ 中的余维数是指 $X$ 中不可约闭集的链$$Z=Z_0⊊\cdots ⊊Z_n\subseteq X$$的长度 $n$ 的上确界 (可能为 $+\infty$), 记作 ${\mathrm{codim}}_{X}Z$.

•	$X$ 在一点 $x\in X$ 的局部维数是指该点的余维数, 记为$${\dim }_{x}X={\mathrm{codim}}_X\{x\}.$$

•	称 $X$ 具有等维数 $n$, 如果 $X$ 的每个不可约分支的维数均为 $n$.

代数簇、概形的维数是指其相应拓扑空间的维数, 这里采用 Zariski 拓扑. 相应地, 可以定义不可约闭子簇或闭子概形的余维数, 等等.

由定义, 仿射概形 $\mathrm{Spec}A$ 的维数即为交换环 $A$ 的 Krull 维数.

2例子

•	域 $k$ 上仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^n$ 的维数是 $n$; 射影空间 ${\mathbb{P}}_k^n$ 的维数是 $n$.

3相关概念

术语翻译

维数 • 英文 dimension • 德文 Dimension (f) • 法文 dimension (f) • 拉丁文 dimensio (f) • 古希腊文 διάστασις (f)