环簇

环簇是从组合几何对象出发构造的代数簇. 大致来说, 给定扇 $F$, 对其中的每个锥 $C$, 都可以赋予仿射簇 $k[C]$, 环簇则是这些仿射簇的粘合. 在环簇中, 只包含原点的锥对应的代数簇是代数环面, 它是环簇中的稠密开集, 且环簇上有典范的代数环面的作用. 这也就是 “环簇” 一词的来源.

扇上的许多性质和构造都对应于环簇上的性质与构造. 例如, 扇完备当且仅当它对应的环簇紧合; 扇上的分段线性函数对应于环簇上的线丛. 由此, 环簇上的许多构造, 如周环, 陈类等都有组合的表述; 许多组合几何问题都可以使用代数几何的方法来证明, 例如 Pick 定理, 等周不等式等.

1定义

设 $k$ 是域, $V$ 是有限维 $\mathbb{R}$-向量空间, $M$ 是 $V$ 中晶格, $M^{\vee }\in V^{\vee }$ 为对偶晶格, $F$ 为 $V$ 中的有理扇.

定义 1.1 (锥对应的环簇). 对 $F$ 中的锥 $C$, 记其对偶锥为$$C^{\vee }=\{x\in M^{\vee }\mid \forall m\in C⟨x,m⟩\in \mathbb{N}\}$$可以看出 $C^{\vee }$ 是幺半群. 记 $k[C^{\vee }]$ 为它生成的 $k$-代数. 定义代数簇 $X_C$ 为谱 $\mathrm{Spec}(k[C^{\vee }])$, 称为 $C$ 对应的环簇.

锥 $\{0\}$ 对应的子簇 $\mathrm{Spec}(k[M^{\vee }])$ 即是代数环面.

扇对应的环簇则是锥对应的环簇的粘合. 注意到对锥 $C_1\subset C_2$, 有自然环同态 $k[C_2^{\vee }]\to k[C_1^{\vee }]$, 它诱导了稠密开浸入 $j_{C_1,C_2}:X_{C_1}\to X_{C_2}$.

定义 1.2 (环簇). $F$ 对应的环簇 $X_F$ 是$$\coprod _{C\in F}{X}_C/\sim$$其中等价关系 $\sim$ 定义为: $x_1\in X_{C_1}$ 与 $x_2\in X_{C_2}$ 等价当且仅当存在 $C\in F$ 与 $x\in X_C$ 使得 $C\subset C_i$, $j_{C,C_i}(x)=x_i$ 对 $i=1,2$ 成立.

由此, 每个 $X_C\subset X_F$ 都是稠密开子簇.

2例子

•	在晶格 ${\mathbb{Z}}^n\in {\mathbb{R}}^n$ 中, 由 $e_1,\dots ,e_n$ 生成的扇对应的环簇就是仿射空间. 一般地, 如扇仅有一个极大锥且此锥幺模, 则对应的环簇是仿射空间 ${\mathbb{A}}^n$.

•	在晶格 ${\mathbb{Z}}^n\in {\mathbb{R}}^n$ 中, 由 $e_1,\dots ,e_n,-(e_1+\cdots +e_n)$ 生成的扇对应的环簇为射影空间 ${\mathbb{P}}^n$.

•	在晶格 ${\mathbb{Z}}^n\in {\mathbb{R}}^n$ 中, 由 $e_1,\dots ,e_n,e_1+\cdots +e_n$ 生成的扇对应的环簇为仿射空间 ${\mathbb{A}}^n$ 爆破原点.

3性质

基本性质

•	扇 $F$ 对应的环簇光滑当且仅当 $F$ 幺模.

•	扇 $F$ 对应的环簇紧合当且仅当 $F$ 完备.

线丛

周环

4相关概念

•

超环簇

术语翻译

环簇 • 英文 toric variety • 德文 torische Varietät (f) • 法文 variété torique (f)