完美复形

完美复形是由有限生成投射模组成的有界链复形, 是链复形无穷范畴中的紧对象.

1定义

定义 1.1. $R$ 是环, $\mathsf{D}(R)$ 是其左模导出范畴. 称 $R$-左模链复形 $K_{\bullet }$ 为完美复形, 指的是各 $K_n$ 都是有限生成投射 $R$-模, 且存在 $N\in \mathbb{N}$ 使得当 $|n|>N$ 时 $K_n=0$. 称 $K\in \mathsf{D}(R)$ 完美, 指的是它可由完美复形代表. $\mathsf{D}(R)$ 中所有完美对象组成的满子范畴记作 ${\mathsf{D}}^{\text{perf}}(R)$.

注 1.2. 常把拟同构于完美复形者都称为完美复形.

定义 1.3. $X$ 是概形 (代数空间、代数叠), $\mathsf{D}(X)$ 是其拟凝聚导出范畴. 称 $K\in \mathsf{D}(X)$ 完美, 或称其为完美复形, 指的是对任一交换环 $R$ 及任一态射 $f:\mathrm{Spec}R\to X$, 都有 $f^{\ast }K\in \mathsf{D}(R)$ 完美. $\mathsf{D}(X)$ 中所有完美对象组成的满子范畴记作 ${\mathsf{D}}^{\text{perf}}(X)$.

注 1.4. 下面将会看到, 这等价于存在 Zariski (平展、光滑) 覆盖 $\{f_i:\mathrm{Spec}{R}_i\to X{\}}_{i\in I}$, 使得各 $f_i^{\ast }K\in \mathsf{D}(R_i)$ 完美.

2性质

命题 2.1. 完美复形关于有限直和、取锥、取直和项封闭.

命题 2.2. 对环同态 $R\to S$ 以及 $K\in \mathsf{D}(R)$ 完美, $S{\otimes }_{R}K\in \mathsf{D}(S)$ 也完美. 这里张量积表示导出张量积.

命题 2.3 (平坦下降). 对交换环的忠实平坦同态 $R\to S$, $K\in \mathsf{D}(R)$ 完美当且仅当 $S{\otimes }_{R}K\in \mathsf{D}(S)$ 完美.

推论 2.4. 对概形 (代数空间、代数叠) $X$ 及其 fpqc 覆盖 $\{f_i:U_i\to X{\}}_{i\in I}$, $K\in \mathsf{D}(X)$ 完美当且仅当各 $f_i^{\ast }K\in \mathsf{D}(U_i)$ 都完美.

定理 2.5 (幂零下降). 设 $R$ 是交换环, $I$ 是其幂零理想, $K\in \mathsf{D}(R)$. 如 $R/I{\otimes }_{R}K\in \mathsf{D}(R/I)$ 完美, 则 $K$ 为完美.

定理 2.6 (粘连). 设 $R$ 是交换环, $I,J$ 是其理想, $I\cap J=0$, $K\in \mathsf{D}(R)$. 如 $R/I{\otimes }_{R}K\in \mathsf{D}(R/I)$ 和 $R/J{\otimes }_{R}K\in \mathsf{D}(R/J)$ 都完美, 则 $K$ 为完美.

下面是完美复形的范畴论刻画.

定理 2.7. 环上完美复形正是其导出范畴中紧对象.

定理 2.8. 交换环 (概形、代数空间) 上完美复形正是其 (拟凝聚) 导出范畴中可对偶对象.

以下刻画的证明, 参见条目伪凝聚复形.

定理 2.9. 完美复形正是 $\mathrm{Tor}$-幅度有限的伪凝聚复形.

完美复形一个重要的性质是它常常能生成所有的复形. 注意这对环是平凡的.

定理 2.10. 设 $X$ 是拟紧拟分离概形 (代数空间), $Z$ 是其闭子概形 (闭子空间), 使得 $X\setminus Z$ 拟紧. 以 ${\mathsf{D}}_Z(X)$ 记 $\mathsf{D}(X)$ 中支在 $Z$ 上者, ${\mathsf{D}}_Z^{\text{perf}}(X)$ 记其中完美者. 则存在 $K\in {\mathsf{D}}_Z^{\text{perf}}(X)$ 生成 ${\mathsf{D}}_Z(X)$, 换言之如 $C\in {\mathsf{D}}_Z(X)$ 满足 $R{\mathrm{Hom}}_X(K,C)=0$, 就有 $C=0$.

3例子

•	有限生成投射模是完美复形.
•	$(R,\mathfrak{m},k)$ 是 Noether 局部环. 则 $k\in {\mathsf{D}}^{\text{perf}}(R)$ 当且仅当 $R$ 是正则环.
•	定理 2.5 中幂零不能换成局部幂零. 考虑赋值环 $(R,\mathfrak{m},k)$, 值群包含于 $\mathbb{R}$ 但不离散, 取元素 $\pi \in \mathfrak{m}$. 则 $\mathfrak{m}/\pi$ 在 $R/\pi$ 局部幂零, $k$ 是 $(R/\pi )/(\mathfrak{m}/\pi )=k$ 上完美复形, 但不是 $R/\pi$ 上完美复形.

4推广

完美复形可推广到 ${\mathbb{E}}_1$-环上.

定义 4.1. $R$ 是 ${\mathbb{E}}_1$-环, $\mathsf{D}(R)$ 是其导出范畴. 称 $K\in \mathsf{D}(R)$ 完美, 指它是 $R$ 的若干平移的有限余极限的收缩.

定理 4.2. $R$ 上完美复形正是 $\mathsf{D}(R)$ 中的紧对象. 当 $R$ 是 ${\mathbb{E}}_2$-环时, 它正是 $\mathsf{D}(R)$ 中的可对偶对象.

命题 4.3. 对 ${\mathbb{E}}_1$-环同态 $R\to S$ 以及 $K\in \mathsf{D}(R)$ 完美, $S{\otimes }_{R}K\in \mathsf{D}(S)$ 也完美.

以下是定理 2.3、定理 2.5、定理 2.6 在 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环情形的类比, 虽然并不能完全覆盖它们.

定理 4.4 (下降). 对 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环的可下降映射 $R\to S$, $K\in \mathsf{D}(R)$ 完美当且仅当 $S{\otimes }_{R}K\in \mathsf{D}(S)$ 完美.

(可以写谱概形、谱叠情形.)

5相关概念

•	紧对象
•	伪凝聚复形
•	$\mathrm{Tor}$-幅度
•	相对完美复形
•	极小复形
•	上同调基变换

术语翻译

完美复形 • 英文 perfect complex • 德文 vollkommener Komplex • 法文 complexe parfait • 拉丁文 complex perfectus • 古希腊文 τέλειον σύμπλοκον